微积分(曹定华)课后题答案第二章习题详解

1 第二章 习题2 -1 1. 试利用本节定义5 后面的注（3）证明：若limnxn=a,则对任何自然数k，有limnxn+k=a. 证：由limnnxa，知0 ，1N，当1nN时，有 nxa 取1NNk，有0 ，N，设nN时（此时1nkN）有 n kxa  由数列极限的定义得 limn kxxa. 2. 试利用不等式ABAB说明：若limnxn=a,则limn∣xn∣=|a|.考察数列xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立. 证： lim0,,.使当时，有nxnxaNnNxa 而 nnxaxa 于是0 ，,使当时，有NnN nnxaxa 即 nxa 由数列极限的定义得 limnnxa 考察数列 ( 1)nnx  ，知limnnx不存在，而1nx  ，lim1nnx ， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) limn222111(1)(2 )nnn=0； (2) limn2!nn =0. 证：（1）因为 222222111112(1)(2 )nnnnnnnnnn 而且 21lim0nn，2lim0nn， 所以由夹逼定理，得 2 222111lim0(1)(2 )nnnn. （2）因为22 2 22240!1 2 31nnnnn，而且4lim0nn， 所以，由夹逼定理得 2lim0!nnn 4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) xn=11ne ，n=1,2,… ； (2) x1=2 ,xn+1＝2nx ,n=1,2,… . 证：（1）略。 （2）因为122x ，不妨设2kx ，则 122 22kkxx  故有对于任意正整数n，有2nx ，即数列 nx有上界， 又 1( 2)nnnnxxxx ，而0nx ,2nx ， 所以 10nnxx  即 1nnxx ， 即数列是单调递增数列。 综上所述，数列 nx是单调递增有上界的数列，故其极限存在。 习题2 -2 1※. 证明：0limxxf(x)=a 的充要条件是f(x)在x0 处的左、右极限均存在且都等于a. 证：先证充分性：即证若00lim( )lim( )xxxxf xf xa，则0lim( )xxf xa. 由0lim( )xxf xa及0lim( )xxf xa知： 10,0,当010xx时，有( )f xa， 20当020xx时，有( )f xa。 取12min, ，则当00xx或00xx时，有( )f xa， 而00xx或00xx就是00xx， 3 于是0,0...