第 1 页精品文档---下载后可任意编辑六年级小学奥数题：容斥原理问题 六班级学校奥数题：容斥原理问题 容斥原理问题：(高等难度) 在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校 25 名同学参加竞赛,每个同学至少解出一道题;(2)在全部没有解出第一题的同学中,解出其次题的`人数是解出第三题的人数的 2 倍:(3)只解出第一题的同学比余下的同学中解出第一题的人数多 1 人;(4)只解出一道题的同学中,有一半没有解出第一题,那么只解出其次题的同学人数是() 容斥原理问题答案： 依据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题状况分为7 类：只答第 1 题，只答第 2 题，只答第 3 题，只答第 1、2 题，只答第 1、3 题，只答 2、3 题，答 1、2、3 题。 分别设各类的人数为 a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…① 由(2)知：a2+a23=(a3+a23)×2……② 由(3)知：a12+a13+a123=a1-1……③ 由(4)知：a1=a2+a3……④ 再由②得 a23=a2-a3×2……⑤ 再由③④得 a12+a13+a123=a2+a3-1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3=26 第 2 页第 1 页精品文档---下载后可任意编辑 由于 a2、a3 均表示人数，可以求出它们的整数解： 当 a2=6、5、4、3、2、1 时，a3=2、6、10、14、18、22 又依据 a23=a2-a3×2……⑤ 可知：a2a3 因此，符合条件的只有 a2=6，a3=2。 然后可以推出 a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，总人数=8+6+2+7+2=25，检验全部条件均符。 故只解出其次题的同学人数 a2=6 人。
