考点 8 函数与方程、函数模型及其应用一、选择题1. （·湖南高考理科·Ｔ 10）已知函数的图象上存在有关轴对称的点，则的取值范围是 ( )A． B． C． D．【解题提醒】运用存在性命题及函数图象的对称性，再构造新函数，运用函数图象平移求解。【解析】选B.解法一：由题可得存在满足,当取决于负无穷小时,趋近于,由于函数在定义域内是单调递增的,因此。解法二：由已知设，满足，即，构造函数，画出两个函数的图象，如图，当向右平移个单位，恰好过点时，得到，因此。2、（·上海高考文科·Ｔ 18）【解题提醒】通过消元法解方程组，可得 y 的关系式，结合，可把 y 求出来，代入可得 x 的取值.【解析】3. （·山东高考理科·Ｔ 8）已知函数，，若有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、【解题指南】 本题考察了函数与方程，函数的图像，可先作出草图，再运用数形结合确定 k 的范围.【解析】选 B.先作出函数的图像，由易知，函数的图像有两个公共点，由图像知当直线介于之间时，符合题意，故选 B.二、填空题4.（·福建高考文科·Ｔ 15）15．函数的零点个数是_________【解题指南】分段函数分段处理．【解析】令，解得（舍）或；令，即，如图 3，在的范围内两函数有一种交点，即原方程有一种根．综上函数共有两个零点．答案：２．5. （·辽宁高考理科·Ｔ 1 ６）对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值为【解析】令，则，代入整理得，由于存在，因此方程有解，即，整理得从而的最大值为，此时方程有相等实根，解得．从而，因此答案：【误区警示】抓住“获得最大值”这一关键，寻求获得最值时间的关系，减少变量个数，防止由于多种变量纠缠不清6. （·辽宁高考理科·Ｔ 1 ６）对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值为【解析】令，则，代入整理得，由于存在，因此方程有解，即，整理得从而的最大值为，此时方程有相等实根，解得．从而，因此答案：【误区警示】抓住“获得最大值”这一关键，寻求获得最值时间的关系，减少变量个数，防止由于多种变量纠缠不清三、解答题7. （·辽宁高考理科·Ｔ 21）（本小题满分 12 分）已知函数，.证明：（Ⅰ）存在唯一，使；（Ⅱ）存在唯一，使，且对（1）中的，有.【解析】证明：（Ⅰ）当时，函数在上为减函数，，因此存在唯一，使；（Ⅱ）考察函数令，则时，.记.则由（Ⅰ）当时，；当时，；可见在上，为增函数，而，因此当时，，因此在上 无 零 ...
