2024年坐标系与参数方程知识点总结与题型归纳VIP专享VIP免费

坐标系与参数方程知识点总结与题型归纳þ知识总结一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系(1）数轴：规定了原点,正方向和单位长度的直线叫数轴.数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系；②数轴的正方向:两条数轴分别置于水平位置与竖直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向;③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴,竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴,x轴或ｙ轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点;⑤对应关系:平面直角坐标系上的点与有序实数对（x，y）之间可以建立一一对应关系.(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中,点Ｐ1（x1，y1）,Ｐ２(x2,ｙ2),线段P1P2的中点为Ｐ,填表:两点间的距离公式中点Ｐ的坐标公式|P１P２｜=2.平面直角坐标系中的伸缩变换设点Ｐ（x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P（x,ｙ)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.二、极坐标系1.极坐标系定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ｏx叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向（通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．２.极坐标：（１)极坐标的定义:设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OＭ|叫做点M的极径,记为ρ；以极轴Ｏx为始边，射线ＯＭ为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作Ｍ（ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中,极点O的极坐标是(０,θ)，（θ∈R),若点Ｍ的极坐标是Ｍ(ρ,θ），则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ+2kπ),（ｋ∈Z).若规定ρ>０,0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系.3.极坐标与直角坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(ｘ，y),(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标;(2)直角坐标化极坐标三、简单曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程ｆ（ρ，θ)＝0,并且坐标适合方程ｆ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ,θ)＝０叫做曲线C的极坐标方程.２．圆的极坐标方程(１)特殊情形如下表:圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0,0）ρ＝r(0≤θ<2π)圆心在点(r,0)ρ=2ｒcos＿θ(-≤θ<)圆心在点(r,)ρ=2rｓiｎ_θ(0≤θ<π)圆心在点(r,π）ρ=－2ｒcoｓ_θ(≤θ<）圆心在点(r，)ρ＝－2rsin_θ(-π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C(ρ0，θ0)，半径为ｒ,Ｍ(ρ，θ）为圆上任意一点，则|CM|＝ｒ,∠COＭ=｜θ－θ0|,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为ρ２－2ρ0ρcoｓ(θ-θ0)+ρ-ｒ2=0即3．直线的极坐标方程（1）特殊情形如下表:直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为α（１)θ＝α(ρ∈R)或θ=α＋(ρ∈R）(２)θ＝α(ρ≥0）和θ＝π+α(ρ≥0)过点(a，0),且与极轴垂直ρｃoｓ＿θ＝a过点，且与极轴平行ρsin_θ=a(0<θ<π）过点（ａ，0)倾斜角为αρｓin（α-θ)=ａsｉｎα(0＜θ<π)(2)一般情形,设直线l过点P(ρ0,θ0)，倾斜角为α,Ｍ(ρ,θ)为直线ｌ上的动点，则在△OＰＭ中利用正弦定理可得直线l的极坐标方程为ρsin(α-θ)＝ρ0siｎ（α－θ0)．四、曲线的参数方程1．参数方程的概念(1)定义：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标ｘ，y都是某个变数t的函数：,①并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x，ｙ的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．（2）参数的意义:参数是联系变数x,y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.2.参数方程与普通方程的区别与联系（1)区别：普通方程Ｆ(x,y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标x，y之间的关系，它含有ｘ,y两个变量;参数方程(t为参数...