教案 条件极值问题与Lagrange 乘数法 1. 教学内容 讲解Lagrange 乘数法的原理，并介绍如何应用Lagrange 乘数法求解条件极值问题。 2. 指导思想 条件极值问题是实践中经常遇到的应用问题， Lagrange 乘数法是解决条件极值问题的一个有效的工具，也是数学分析课程教学上的一个难点，讲好这一节课程，对提高学生分析问题、并利用微积分这一工具解决问题的能力具有重要意义。 3. 教学安排 1．在考虑函数的极值或最值问题时，经常需要对函数的自变量附加一定的条件。例如，求原点到直线 ⎩⎨⎧=++=++632,1zyxzyx 的距离，就是在限制条件1=++zyx和632=++zyx的情况下，计算函数222),,(zyxzyxf++=的最小值。这就是所谓的条件极值问题。 以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数 ),,(zyxf 在约束条件 ⎩⎨⎧==0),,(,0),,(zyxHzyxG下的极值。 假定具有连续偏导数，且Jacobi矩阵 GFf,,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=zyxzyxHHHGGGJ 在满足约束条件的点处是满秩的，即2rank=J。 先考虑取到条件极值的必要条件。上述约束条件实际上是空间曲线的方程。设曲线上一点为条件极值点，由于在该点),,(000zyx2rank=J，不妨假设在点),,(000zyx0),(),(≠∂∂zyHG，则由隐函数存在定理，在附近由该方程可以唯一确定 ),,(000zyx),(),(),(0 ρxOxxzzxyy∈== （)(),(0000xzzxyy==）。 它是这个曲线方程的参数形式。 将它们代入目标函数，原问题就转化为函数 ),()),(),(,()(0 ρxOxxzxyxfx∈=Φ 的无条件极值问题，是函数0x)(xΦ的极值点，因此0)(0 =Φ′x，即 0),,(),,(),,(000000000=++dxdzzyxfdxdyzyxfzyxfzyx。 这说明向量 1kji),,(),,(),,(),,(grad000000000000zyxfzyxfzyxfzyxfzyx++= 与向量⎟⎠⎞⎜⎝⎛=dxdzdxdy ,,1τ正交，即与曲线在点的切向量正交，因此可看作是曲线在点处的法平面上的向量。由定理12.5.1，这个法平面是由与张成的，因此可以由和线性表出，或者说，存在常数),,(000zyx),,(grad000zyxf),,(000zyx),,(grad000zyxG),,(grad000zyxH),,(grad000zyxf),,(grad000zyxG),,(grad000zyxH00,μλ，使得 ),,(grad000zyxf=0λ),,(grad000zyxG+0μ),,(grad000zyxH， 这就是点为条件极值点的必要条件。 ),,(000zyx将这个方程按分量写开就是 ⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−=−−.0),,(),,(),,(,0),,(),,(),,(,0),,(),,(),,(000000000000000000000000000000000zyxHzyxGzyxfzyxHzyxGzyxfzyxHzyxGzyxfzzzyyyxxxμλμλμλ 于是，如果...
