正态总体样本标准差

正态总体样本标准差S 不是总体标准差 的无偏估计量 设12 ,,,nXXX是来自正态总体2(,)N  的一个样本，11niiXXn为样本均值，2211()1niiSXXn 为样本方差。众所周知，对任何总体来说样本方差2S 是总体方差2的无偏估计两，正态总体更不是例外。但样本标准差S 却不是总体标准差 的无偏估计量。 证明： 由于222(1)~(1)nSn，若令22(1)nSY，则2~(1)Yn的概率密度为 11()2211022( )200nnnyyeyP yy  从而 112222100222()112()( )11()2()2()222nynynnnEYy p y dyyedyyedynnn①2()21()2nn 另一方面， 11()()()nSnEYEE S， 所以有()212()()111()2nnE SEYnnCn， 所以，样本标准差S 却不是总体标准差 的无偏估计量。 如果进行修正，则可以得到 的无偏估计量nC S ，其中1()122()2nnnCn 评注： 1. 理论依据： 正态总体样本的抽样分布，2 分布与 分布的有关性质。 2. 应用与推广： 无论总体X 服从什么分布，修正的样本方差 2211()1niiSXXn  是总体方差()D X的无偏估计量，但是样本方差 S 不是总体标准差 ()()XD X 的无偏估计量。只有在正态总体的情况下才有确定性的修正方法，使得 nC S  是总体标准差的无偏估计量，对于非正态总体，情况极为复杂，一般不对其进行讨论。 参考文献： 茆诗松等，概率论与数理统计。本经：中国统计出版社，2000 参数估计方法在捕鱼问题中的应用 设湖中有鱼 N 条，做上记号后放回湖中（记号不消失），一段时间后让湖中的鱼（做上记号的和没做记号的）混合均匀，再从湖中捕出鱼数 s条 ()sr ,其中有t条(0)tr标有记号。试根据这些信息，估计湖中鱼数的N 值。 （1）根据概率的统计定义：湖中有记号的鱼的比例应是 rN（概率），而在捕出的s条中有记号的鱼为 t条，有记号的鱼的比例是 ts（频率）。设想捕鱼是完全随机的，每条鱼被捕的机会都相等，于是根据用频率来近似概率的道理，便有 rtNs 即 rsNt 故 rsNt（取最接近的整数）。 （2）用矩估计法：设捕出的s条鱼中，标有记号的鱼为 ，因为 是超几何分布， 而超几何分布的数学期望是( )rsEN。捕 s条鱼得到有标记的鱼的总体平均数，而现在只捕一次，出现...