正方形中三垂直结构

正方形专题一------正方形中的三垂直结构 一【知识精析】 1 、等腰直角三角形的特征： ①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是4 5 º） ②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。 2 、等腰直角三角形与全等三角形： 以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。 （1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形 （三垂直模型） 2 ）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形： 拓展：双三垂直 相关结论：1.若△ADC 和△CBE 为等腰直角三角形，F 为AB 上一动点，若DF⊥EF 则 DF=EF. 2.若△ADC 和△CBE 为等腰直角三角形，F 为AB 上一动点，若DF=EF 则 DF⊥EF. 3.若△ADC 为等腰直角三角形，DF=EF，DF⊥EF 则△CBE 为等腰直角三角形 (2 )(3 )(1 )DDEECCECABBAABDEFFED(2 )(1 )CCABBA 例1．如图，在正方形ABCD 中． （1）若点E、F 分别在AB、AD 上，且AE=DF．试判断DE 与CF 的数量及位置关系，并说明理由； （2）若P、Q、M、N 是正方形ABCD 各边上的点，PQ 与MN 相交，且PQ=MN，问PQ⊥MN 成立吗？为什么？ 例2．如图，直线MN 不与正方形的边相交且经过正方形ABCD 的顶点D，AM⊥MN 于M，CN⊥MN 于N，BR⊥MN 于R． （1）求证：△ADM≌△DCN： （2）求证：MN=AM+CN； （3）试猜想BR 与MN 的数量关系，并证明你的猜想． ． 例3 如图，四边形ABCD 是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C 三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD 的面积等于（ ） 例4.如图在平面直角坐标系中正方形OABC 的边OC，OA 分别在x 轴正半轴上和y 轴的负半轴上，点B（a,b）在第四象限且满足222aab． （1）求点B 的坐标； （2），E,F 为OC,OA 上的动点，连接BE，CF 交于M 点，满足∠OEF=45°，是否存在点E,F，使得 BE⊥CF？若存在，求出 E,F 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）F 在线段 OA 上，连BF，作 OM⊥BF 于M，AN⊥BF 于N，当 F 在线段 OA 上运动时（不与 O、A 重合），的值是否变化．若变化，求出变化的范围；若不变，求其值． 例5 如图，直线 AB 交x 轴正半轴于点A（a，0），交y 轴正半轴于...