求数列前N项和的方法

求数列前N 项和的方法 1. 公式法 等差数列前n 项和： 11()(1)22nnn aan nSnad 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)kkSka，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前n 项和： q =1 时， 1nSna 1 111nnaqqSq，，特别要注意对公比的讨论。 其他公式： 1、)1(211 nnkSnkn 2、)12)(1(6112 nnnkSnkn 3、213)]1(21[ nnkSnkn [例1] 已知3lo g1lo g23x，求nxxxx32的前n 项和. 解：由212lo glo g3lo g1lo g3323xxx 由等比数列求和公式得 nnxxxxS32 （利用常用公式） ＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21 [例2] 设Sn＝1+2+3+… +n，n ∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21nnSn， )2)(1(211nnSn （利用常用公式） ∴ 1)32()(nnSnSnf＝64342nnn ＝nn64341＝50)8(12 nn501 ∴ 当 88n，即n＝8 时，501)(max nf 2. 错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n 项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和：132)12(7531nnxnxxxS… … … … … … … … … ① 解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积 设nnxnxxxxxS)12(7531432… … … … … … … … … . ② （设制错位） ① － ② 得 nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432 （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1 ∴ 21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn [例 4] 求数列,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积 设nnnS2226242232… … … … … … … … … … … … … ① 14322226242221nnnS… … … … … … … … … … … …② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(nnnnS （错位相减） 1122212 ...