求矩阵特征值和特征向量课件1

求矩阵特征值和特征向量的方法 本章探讨求矩阵特征值及特征向量的常用数值方法的构造和原理，主要介绍在计算机上常用的求矩阵特征值和特征向量的的常用方法和有关知识。 重点论述幂法的构造内容。 6.1 实际案例 旅游地选择问题通过层次分析法可以转化为求成对比较矩阵的绝对值最大的特征值max及其对应的特征向量的问题。 求矩阵的特征值及特征向量的问题在实际的科研和工程问题中经常遇到，在这些问题中解出矩阵（特别是高阶矩阵）特征值或特征向量成为解决问题的关键。 求矩阵的特征值及特征向量的计算机解法也称为代数特征问题的计算方法。 6.2问题的描述与基本概念 定义6.1 设矩阵n nAR ，称关于变量 的行列式函数  111212122212detnnAnnnnaaaaaafAIaaa 为矩阵A的特征多项式，称方程 0Af  为特征方程。 定义6.2若存在某个实数或复数 及非零向量nxR满足 Axx，则称 是矩阵A的一个特征值，而 x称为 对应的一个特征向量。  Af 是关于 的n次多项式，矩阵A的特征值就是 Af 的零点。 在线性代数中，有求解矩阵A的特征值和特征向量的解法，该解法理论很严密，但由于将特征多项式 Af  化为一个n次多项式很复杂且特征方程对舍入误差很敏感，特别当n较大时，这些问题更突出。 由于这些原因，实用中在求解代数特征值问题时一般不用如上的线性代数的方法，而采用本章介绍的迭代加变换的计算机求解方法，这些方法具有编程简单，对舍入误差不敏感等优点。 6.3 幂法 幂法---把最大特征值直接从矩阵乘出来！ 幂法是求矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量的方法。 基本思想 利用矩阵的特征值与特征向量的关系 Axx 构造迭代向量序列来求矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量。 1、构造原理 设方阵n nAR ,    12,,,nxxx是A的n个线性无关的特征向量，其对应的特征值为12,,,n ，任取一个非零向量 0nVR,则有     01212nnVxxx 用A左乘 0V，并利用  kkkAxx有        01212121122nnnnnAVAxAxAxxxx    记 1kkVAV，可得 ( )(0 )(1 )(2 )( )1122(1 )(2 )( )211211kkkkknnnkkknnnVA Vxxxxxx ...