用射影面积法求二面角在高考中的妙用

1 用射影面积法求二面角在高考中的妙用 广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码 530007） 立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！ 定理 已知平面  内一个多边形的面积为 S，它在平面 内的射影图形的面积为'S ，平面 和平面 所成的二面角的大小为 ，则SS'cos. 本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证. 证明：如图，平面  内的△ABC 在平面 的射影为△BCA'，作BCAD 于 D，连结 AD. 'AA于'A ，D， AD在 内的射影为DA'. 又BCBCAD,， BCDA'（三垂线定理的逆定理）. 'ADA为二面角 —BC—  的平面角. 设△ABC 和△BCA'的面积分别为 S 和'S ，'ADA，则DABCSADBCS''21,21. SSADBCDABCADDA'''2121cos. 典题妙解 下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例 1 如图, 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 是 A A1 棱的中点，则 面 BE C1 与面 AC 所成的二面角的大小为( ) A.45 B. 21arctan C. 42arctan D. 32arccos 解：连结AC，则△1EBC 在面 AC 内的射影是△ABC，设它们的 面积分别为 S和'S ，所成的二面角为 . 设正方体的棱长为 2，则 AB = BC = 2，.31)22(,22,52211ECBCBE .103cos1sin,1012cos1211212121EBCEBCBCBEECBCBEEBC .32cos,221,3sin21''11SSBCABSEBCBCBES 32arccos. 故答案选D. 例 2（04 北京）如图, 已知四棱锥S—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, SD⊥面 AC, SB = 3 . (1) 求证:BC⊥SC; (2) 求面 ASD 与面 BSC 所成的二面角的大小; (3) 设棱 SA 的中点为 M, 求异面直线DM 与SB 所成的角的大小. （1）证明： SD⊥面 AC， SC 在面 AC 内的射影是 SD. 又四边形 ABCD 是正方形，BC面 AC，  BC⊥SC（三垂线定理）. 'A A B D C  A B D1 C1 D C A1 B1 E A B D1 C1 D C A1 B1 E A B C S M D ...