1 第一章 前言 众所周知, 极限的存在性问题是极限理论的首要问题. 一个数列是否存在极限不仅与数列本身的结构有关, 而且与数列所在的数集密切相关. 从运算的角度来说, 实数集关于极限的运算是封闭的, 它反映了实数集的完备性, 这是实数的优点. 因此, 将极限理论建立在实数集之上, 极限理论就有了坚实的基础. 我们常常从实数系的连续性出发证明实数系的完备性, 也可从实数系的完备性出发去证明实数系的连续性, 所以这两个关系是等价的. 因此, 我们也称实数系的连续性为实数系的完备性. 数学分析课程是高等学校数学专业的主要基础课程之一, 更是高等师范学校数学教育专业最主要的基础课程. 在数学分析教材中, 实数集的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理和有限覆盖定理通称为实数的完备性定理, 他们各自从不同的角度反映了实数的完备性或称为实数的连续性, 成为数学理论乃至数学分析坚实的基础. 这六个基本定理是相互等价的, 也就是说可以相互循环论证. 在我们学过的刘玉琏等主编的数学分析讲义中, 实数完备性基本定理是从公理出发, 首先运用公理证明了闭区间套定理, 然后用前一个定理为条件, 证明了后一个定理的结论, 它们依次是: 确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则的充要性, 最后再运用柯西收敛准则的充要性证明了公理（作为练习 题） . 而在本文 中把 有限覆盖定理作为出发点, 利 用反证法 和有限覆盖的思 想 来分别 证明确界原 理、单调有界定理、区间套定理、聚点定理、柯西收敛准则. 下 面 我们就来阐 述 有限覆盖的定义和定理的内 容 , 为后面 的证明做 铺 垫 . 定义 1.2.1]2[ 设 S为数轴 上的点集, H 为开 区间的集合 ,（即 H 的每 一个元素 都 是形 如),(的开 区间） , 若 S中任 何 一点都 含 在H 中至少 一个开 区间内 , 则称H 为S的一个开 覆盖, 或称H 覆盖 S. 若 H 中开 区间的个数是无 限（有限）的, 则称H 为S的一个无 限开 覆盖（有限开 覆盖） . 定理 1.2.1]2[ （有限覆盖定理）设 H 为闭区间],[ ba的一个（无 限）开 覆盖, 则从H 中可选 出有限个开 区间来覆盖],[ ba. 2 第二章 有限覆盖定理证明实数完备性的其它定理 2.1 用有限覆盖定理证明确界定理 本节主要运用有限覆盖定理证明确界定理, 首先给出确界的定义和定理如下: 定义 2.1.1]2...
