直线与圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A、 )2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点 )4,2(P与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(rbyax． 圆心在0y上，故0b． ∴圆的方程为222)(ryax． 又 该圆过)4,1(A、 )2,3(B两点． ∴ 22224)3(1 6)1(rara 解之得：1a，2 02 r． 所以所求圆的方程为2 0)1(22yx． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过 )4,1(A、 )2,3(B两点，所以圆心C 必在线段 AB 的垂直平分线l 上，又因为13124ABk，故l 的斜率为1 ，又 AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23xy即01  yx． 又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为 )0,1(C ∴半径2 04)11(22 ACr． 故所求圆的方程为2 0)1(22yx． 又点 )4,2(P到圆心)0,1(C的距离为 rPCd2 54)12(22． ∴点P 在圆外． 例2 求半径为4 ，与圆042422yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rbyaxC：． 圆C 与直线0y相切，且半径为4 ，则圆心C 的坐标为 )4,(1 aC或)4,(2aC． 又已知圆042422yxyx的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3 ． 若两圆相切，则734CA或134CA． (1 ) 当)4,(1 aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a( 无解) ，故可得1 022 a． ∴所求圆方程为2224)4()1 022(yx，或2224)4()1 022(yx． (2 ) 当)4,(2aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a( 无解) ，故622 a． ∴所求圆的方程为2224)4()622(yx，或2224)4()622(yx． 说明：对本题，易发生以下误解： 由题意，所求圆与直线0y相切且半径为4 ，则圆心坐标为 )4,(aC，且方程形如2224)4()(yax．又圆042422yxyx，即2223)1()2(yx，其圆心为)1,2(A，半径为3 ．若两圆相切，则34...