这里首先讨论一个长期以来困惑工科甚至物理系学生的一个数学问题，即，究竟什么是面积，以及面积的高维推广（体积等）？ 1 关于面积：一种映射 大家会说，面积，不就是长乘以宽么，其实不然。我们首先明确，这里所讨论的面积，是欧几里得空间几何面积的基本单位：平行四边形的面积。平行四边形面积的定义，几何上说是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦。 然而为了应对更一般情形和更高维度的数理问题，我们有必要把面积的定义推广开来。注意到以下事实： 面积是一个标量，它来自于（构成其相邻边）两个矢量。因此，我们可以将面积看成一个映射： 其中 V 就是一个矢量，V*V 代表两个矢量的有序对；f就是面积的值。 下面我们将说明这个映射是一个线性映射。 从最简单的例子出发。如果第一个矢量是（1，0），第二个矢量是（0，1）；也就是说，两个矢量分别是X 和 Y 轴上的单位正向量，那么由这两个矢量张成的四边形就是一个正方形，其面积根据定义，就是长乘以宽=1*1=1。 因此有： 如果我们把第一个矢量”缩放“a倍，面积将会相应是原来的a 倍；把第二个矢量“缩放”b倍，面积也会成为原来的b 倍。如果同时缩放，很显然，面积将会变成原面积的ab 倍。这表明，面积映射对于其两个操作数（矢量）的标量积是各自线性的，如下： 最后，我们要说明，面积映射对于其操作数（矢量）的矢量加法也是线性的。因为矢量加法操作的本身是线性的，那么其面积映射理应对此也是一个线性映射。这里我们打算从几个实际的例子出发，说明映射的加法线性性的后果。 显然（两个共线矢量所张成的平行四边形还是一条线，因此面积为0）： 假定面积映射是一个关于矢量加法的线性映射，那么我们有： 注意计算过程中用到了上面的结论。这说明： 也就是说，交换相互垂直操作数矢量的顺序，面积映射取负。孰正孰负取决于认为的定义。一般，我们把X 轴单位矢量在前，Y 轴单位矢量在后，从 X 轴到Y 轴张成的一个平行四边形的面积，取做正号。 1 .1 右手定则 由此我们引入右手定则。注意右手定则只在三维空间中有效。如果以 X 正方向为首，Y 正方向为尾，右手定则告诉我们，纸面向外是面积的正方向；如果反过来，那么纸面向内就是该面积的正方向，与规定的正方向相反，取负号。那么面积正负号的几何意义就明显了。 由此，我们不难得到平面内任意两个矢量所张成的平行四边形的面积（*）： 我们不难看到，所谓面积就是一个 2X2 矩阵的行列式...
