穿根法解不等式及习题

穿根法解不等式 穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。 一、 原理 穿根法解不等式时，一般先将其化为形如： f(x )=(x -x 1)(x -x 2)…(x -x n)>0 （或<0） 的标准形式，主要考察 f(x )的符号规律。 在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。 （一） 一次不等式 标准形式：f(x )=x -x 1>0 （或<0） 我们将x -x 1=0 的根x 1 标在序轴上，可以发现：x 1 右边的点都是大于x 1 的点，即是x -x 1>0 的解；而x 1 左边的点都是小于x 1 的点，即是x -x 1<0 的解。所以可以如图标注，图中+、- 用以表 示f(x )=x -x 1 的符号。 我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x =a 从x 1 右侧向x 1 左侧移动时，f(x )=x -x 1 经历了由正到0 又到负的符号变换。由此也可得出f(x )的符号可以如图标注的结论。 （二） 二次不等式 标准形式：f(x )=(x -x 1)(x -x 2) >0 （或<0） (1) x1≠x2时，不妨设 x10，处于(x 1,x 2)内的点满足 f(x ) <0。 当我们动态考察该问题时，我们也可以发现：当点x =a 在x 2 右方时，x -x 1、x -x 2 均正，故有 f(x ) >0；而当点x =a 从x 2 右侧移动到左侧时，x -x 2 变为负值，而 x -x 1 符号不变，所以有 f(x )必然变号，此时由正变负；而再当点x =a 从x 1 右侧移动到左侧时，x -x 1 由正变负，而 x -x 2 符号不变，所以f(x )又一次变号，此时由负变正。 总之，无论从哪个方面看，f(x )的符号都可以如图标注。 (2) x1=x2时，即形如 f(x)=(x-x1)2时 显然，(-∞,x 1)与( x 1 ,+∞)都是 f(x ) >0 的解。 而若动态的考察此问题，则有点x =a 从x 1 右侧移动向左侧移动时，由于平方项内的x -x 1 由正到0 又到负，所以f(x )经历了由正到0 又回到正的过程。故而f(x...