穿根法解不等式 穿根法,又称序轴标根法,是解一元整式、分式不等式的重要通用方法,特别在解简单高次不等式时,一直居于主流地位。然而,该方法目前尚未进入中学正式教材,在很多资料中,对此法也往往是只提应用,而对其来龙去脉,叙述不清,建构模糊。现结合中学一线教学经验,通过阐述其原理、步骤和应用范例,尝试对其进行系统性的论述。 一、 原理 穿根法解不等式时,一般先将其化为形如: f(x )=(x -x 1)(x -x 2)…(x -x n)>0 (或<0) 的标准形式,主要考察 f(x )的符号规律。 在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线,类似于数轴,但上面不必标出原点,也不必考虑长度单位,只要求在其上标数时,按由左至右,从小到大的顺序即可。 (一) 一次不等式 标准形式:f(x )=x -x 1>0 (或<0) 我们将x -x 1=0 的根x 1 标在序轴上,可以发现:x 1 右边的点都是大于x 1 的点,即是x -x 1>0 的解;而x 1 左边的点都是小于x 1 的点,即是x -x 1<0 的解。所以可以如图标注,图中+、- 用以表 示f(x )=x -x 1 的符号。 我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x =a 从x 1 右侧向x 1 左侧移动时,f(x )=x -x 1 经历了由正到0 又到负的符号变换。由此也可得出f(x )的符号可以如图标注的结论。 (二) 二次不等式 标准形式:f(x )=(x -x 1)(x -x 2) >0 (或<0) (1) x1≠x2时,不妨设 x10,处于(x 1,x 2)内的点满足 f(x ) <0。 当我们动态考察该问题时,我们也可以发现:当点x =a 在x 2 右方时,x -x 1、x -x 2 均正,故有 f(x ) >0;而当点x =a 从x 2 右侧移动到左侧时,x -x 2 变为负值,而 x -x 1 符号不变,所以有 f(x )必然变号,此时由正变负;而再当点x =a 从x 1 右侧移动到左侧时,x -x 1 由正变负,而 x -x 2 符号不变,所以f(x )又一次变号,此时由负变正。 总之,无论从哪个方面看,f(x )的符号都可以如图标注。 (2) x1=x2时,即形如 f(x)=(x-x1)2时 显然,(-∞,x 1)与( x 1 ,+∞)都是 f(x ) >0 的解。 而若动态的考察此问题,则有点x =a 从x 1 右侧移动向左侧移动时,由于平方项内的x -x 1 由正到0 又到负,所以f(x )经历了由正到0 又回到正的过程。故而f(x...