2025年高考文科数学第一轮考点规范练习题

考点规范练 32 基本不等式及其应用 考点规范练 B 册第 22 页 基础巩固组1.已知 f(x)=x+-2(x<0),则 f(x)有( ) A.最大值为 0B.最小值为 0C.最大值为-4D.最小值为-4答案:C解析: x<0,∴f(x)=--2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即 x=-1 时取等号.2.(郑州模拟)设 a>0,b>0.若 a+b=1,则的最小值是( )A.2B.C.4D.8答案:C解析:由题意=2+≥2+2=4,当且仅当,即 a=b=时,取等号,因此最小值为 4.3.(浙江金华十校模拟)已知 a>0,b>0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+,n=a+,则 m+n 的最小值是( )A.3B.4C.5D.6答案:B解析:由题意知 ab=1,则 m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2(a+b)≥4=4(当且仅当 a=b=1 时,等号成立).4.若正数 x,y 满足 4x2+9y2+3xy=30,则 xy 的最大值是( )A.B.C.2D.答案:C解析:由 x>0,y>0,得 4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当 2x=3y 时,等号成立),则 12xy+3xy≤30,即 xy≤2,故 xy 的最大值为 2.5.要制作一种容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米 20元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( )A.80 元B.120 元C.160 元D.240 元答案:C解析:设底面矩形的长和宽分别为 a m,b m,则 ab=4(m2).容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40=160(元)(当且仅当 a=b=2 时等号成立).故选 C.6.(西安一中模拟)设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=3,a+b=2,则的最大值为( )A.2B.C.1D.答案:C解析:由 ax=by=3,.又 a>1,b>1,因此 ab≤=3,因此 lg(ab)≤lg 3,从而=1,当且仅当 a=b=时等号成立.7.已知 x,y 满足约束条件当目的函数 z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值 2 时,a2+b2的最小值为( )A.5B.4C.D.2〚导学号 32470492〛答案:B解析:约束条件满足的可行域如图中的阴影部分所示.由图可知,目的函数 z=ax+by(a>0,b>0)取最小值时,最优解为(2,1).因此 2a+b=2,则 b=2-2a,因此 a2+b2=a2+(2-2a)2=5a2-8a+20=5+4,即当 a=,b=时,a2+b2有最小值 4.8.已知函数 f(x)=4x+(x>0,a>0)在 x=3 时获得最小值,则 a= . 答案:36解析:由基本不等式可得 4x+≥2=4,当且仅当 4x=即 x=时等号成立,∴=3,即 a=36.9.函数 y=(x>1)的最小值为 . 答案:2+2解析: x>1,∴x-1>0.∴y====x-1++2≥2+2=2+2.当且仅当 x-1=,即 x=1+时,取等号.10.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价 p%,第二次提价 q%;方案乙:每次都提价%,若 p>q>0,则提价多的方案是 ...