球的体积和表面积公式具体推导过程

1.。3。2 球的体积和表面积(1)设球的半径为 R，将半径 OAn 等分，过这些分点作平面把半球切割成 n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”,这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积. 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度，底面就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第 i 层(由下向上数）“小圆片"的下底面半径：,（i＝1，2，3，···，n)第 i 层“小圆片”的体积为：V≈π·＝，（i＝1，2，3,···，n)半球的体积：V 半径＝V1＋V2＋···＋Vn≈｛1＋（1－）＋（1－）＋···＋[1－］｝＝［n－］（注：)＝［n－＝）＝ ① 当所分的层数不断增加,也就是说，当 n 不断变大时，①式越来越接近于半球的体积，假如 n 无限变大，就能由①式推出半径的体积。 事实上，n 增大，就越来越小，当 n 无限大时，趋向于 0,这时,有V 半径＝，所以，半径为 R 的球的体积为: V＝ 1.。3。2 球的体积和表面积（2) 球的表面积推导方法（设球的半径为 R，利用球的体积公式推导类似方法）（1）分割。把球 O 的表面分成 n 个“小球面片”，设它们的表面积分别是 S1，S2，……Sn，那么球的表面积为：S＝S1＋S2＋……＋Sn 把球心 O 和每一个“小球面片”的顶点连接起来,整个球体被分成 n 个以“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体".例如，球心与第 i 个“小球面片”顶点相连后就得到一个以点 O 为顶点，以第 i 个“小球面片”为底面的“小锥体"。这样“小锥体”的底面是球面的一部分,底面是“曲”的。假如每一个“小球面片"都非常小，那么“小锥体”的底面几乎是“平”的，(好象地球一样），这时，每一个“小锥体"就近似于棱锥，它们的高近似于球的半径 R. （2）求近似和。设 n 个“小锥体”的体积分别为 V1，V2，…，Vn那么球的体积为:V＝V1＋V2＋…＋Vn 由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的近似值.第 i 个“小锥体”对应的棱锥以点 O 为顶点,以点 O 与第 i 个“小球面片”顶点的连线为棱.设它的高为 hi,底面面积为 S’i，于是,它的体积为:V’i＝hi S’i,（i＝1,2,…，n）这样就有:Vi≈hi S’i，(i＝1,2,…，n）V≈（h1 S’1＋h2 S’2 ＋…＋hn S’n） ①（3）转化为球的表面积.分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小,“小锥体”就越接近于棱锥，假如分割无限加细，每一个“小球面片"都无限变小，那么 hi （i＝1，2，…，n）就趋向于 R，S’i就趋向于 Si,于是，由①可得：V＝RS又 V＝，所以，有＝RS 即: S＝4πR2