矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换,二次型等有着诸多相同性质和联系。关键词：矩阵 秩 合同 对角化定义 1：假如矩阵 A 可以经过一系列初等变换变成 B，则积 A 与 B 等价，记为定义 2:设 A，B 都是数域 F 上的 n 阶方阵，假如存在数域 F 上的 n 阶段可逆矩阵 P 使得，则称 A 和 B 相似定义 3：设 A，B 都是数域 F 上的 n 阶矩阵，假如存在数域 F 上的一个 n 阶可逆矩阵P，使得那么就说，在数域 F 上 B 与 A 合同。以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。定理 1:合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为 P 可逆，所以 P 存在一系列初等矩阵的乘积，即。此时边为一系列初等矩阵的乘积若 则 B 由 A 经过一系列初等变换得到。所以，从而知合同变换是等价变换。定理 2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩证明:由 知,合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩定理 3：相似矩阵有相同特征多项式证明：共又因为为对称矩阵所以注①合同不一定有相同特征多项式定理 4：假如 A 与 B 都是 n 阶实对称矩阵,且有相同特征根，则 A 与 B 相似且合同论：设 A，B 为特征根均为,因为 A 与 B 实对称矩阵，所以则在 n 阶正 矩阵，使得从而有由从而有从而又由于为正交矩阵所以且定时 5：两合同矩阵，若即，若 A 为对称矩阵,则 B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明：即，若对称阵，则所以 B 边为对称阵[注］：相似矩阵对此结论不具有一般性,它在什么情况下成立呢？引理 6:对称矩阵相似于对角阵 A 的每一个特征根有秩,S 为的重数。证明：任给对称的 n 阶矩阵 A 一个特征根，以其重数以秩，则,线性无关的解向量个数为个，即 5 个又因属不同特征根的特征向量线性无关n 阶对称阵 A 有 n 个线性无关的特征向量n 阶对称阵可对角化从定理 5，引理 6 中我们发现了合同在应用中的侧重点,如对二次型应用例 求一非线性替换,把二次型二次型矩阵为对 A 相同列与行初等变换，对矩阵 E，施行列初等变换可把二次型化为标准型解法（2）此时此时非线性退化替换为发现在注［1]:任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的特性 1:在合同变换中具有变换和结果的多样性[注]：在对角阵上元素...
