一、备用例题：b 是 a 与 c 的等比中项，且 a、b、c 同号，求证：a+b+c3,√ab+bc+ca3 ,3√abc 也成等比数列.证明：由题设：b2=ac,得a+b+c3×3√abc=a+b+c3×3√b3=ab+b2+bc3=(√ab+bc+ca3)2∴a+b+c3,√ab+bc+ca3,3√abc 也成等比数列.二、阅读材料斐波那契数列的奇异性质前面我们已提到过斐波那契数列，它有一系列奇异的性质，现简列以下几条，供读者欣赏. 1.从首项开始，我们依次计算每一项与它的后一项的比值，并精确到小数点后第四位：11 =1.000 0 21 =2.0 00032 =1.500 0 53 =1.666 785 =1.600 0 138 =1.625 02113 =1.615 4 3421 =1.619 05534 =1.617 6 8955 =1.618 214489=1.618 0 253144 =1.618 1假如将这一工作不断地继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于 1.618 0 与 1.618 1 之间，它还能准确地用黄金数1+√52表示出来.2.我们在初中曾经遇到过杨辉三角形，如右图所示，杨辉三角形中虚线上的数的和恰好组成斐波那契数列：3.在斐波那契数列中，请你验证以下简单的性质：前 n 项和 Sn=a n+2-1,ana n+1-an-1a n-2=a 2n-1(n≥3),an-12+an2=an-1(n≥2),an-2an=a n-12-(-1)n(n≥3).据载首先是由 19 世纪法国数学家吕卡将级数{Un}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，..{Un+1=Un+Un-1}命名为斐波那契级数，它是一种特别的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用.1680 年意大利—法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式 U n+1U n-1-Un2=(-1)n.1730 年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19 世纪初另一位法国数学家比内首先证明了这一表达式Sn=[(1+√52)n−( 1−√52)n]，现在称为之为比内公式.世界上有关斐波那契数列的讨论文献多得惊人.斐波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已经广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的宽阔空间.
