函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性（1 课时）1．函数的奇偶性定义2.函数的周期性定义(1)周期函数推断函数的奇偶性例 1] (1)下列函数为奇函数的是( )A．y＝B．y＝exC．y＝cos xD．y＝ex－e－x(2)下列函数中为偶函数的是( )A．y＝B．y＝lg|x|C．y＝(x－1)2D．y＝2x(3)函数 f(x)＝＋，则( )A．不具有奇偶性 B．只是奇函数C．只是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数方法推断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称．(3)性质法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．练习推断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝(x＋1) ；(2)f(x)＝lg.函数的周期性与应用例 2] (1)下列函数不是周期函数的是( )A．y＝sin xB．y＝|sin x|C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，若对于 x≥0，都有 f(x＋2)＝－，且当 x∈0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求 f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．方法 (1)利用周期 f(x＋T)＝f(x)将不在解析式围之的 x 通过周期变换转化到解析式围之，以方便代入解析式求值．(2)推断函数周期性的几个常用结论．①f(x＋a)＝－f(x)，则 f(x)为周期函数，周期 T＝2|a|.②f(x＋a)＝(a≠0)，则函数 f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－，则函数 f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．练习1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则 f(－2 017)＋f(2 019)＝________.2．若本例(2)条件变为 f(x)对于 x∈R，都有 f(x＋2)＝f(x)且当 x∈0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求 f(－2 017)＋f(2 019)的值．函数奇偶性的综合应用例 3] (1)若函数 f(x)＝是奇函数，则使 f(x)＞3 成立的 x 的取值围为( )A．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)(2)函数 f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且 f＝.① 确定函数 f(x)的解析式；② 用定义证明 f(x)在(－1,1)上是增函数；③ 解不等式 f(t－1)＋f(t)＜0.(3)已知 f(x)是 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当 x＜0 时，f(x)＝( )A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)练习1．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在 a－1,2a]上的偶函数，那么...