第二章有限元分析基本理论

第二章有限元分析基本理论有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。单元的场函数通常由未知场函数或其导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。这样，未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量(自由度)。根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的关系式集合成方程组，求出这些未知量并通过插值函数计算出各个单元场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似解。有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。假如将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加与插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。假如单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。2.1 有限元分析的基本概念和计算步骤首先以求解连续梁为例，引出结构有限元分析的一些基本概念和计算步骤。如图 2-1，连续梁承受集中力矩作用。将结构离散为三个节点，两个单元。结构中的节点编号为 1、2、3；单元编号为①、②。图 2-1 受集中力矩作用的连续梁2.1.1 单元分析在有限元分析过程中，第一步是进行结构离散，并对离散单元进行分析，分析的目的是得到单元节点的力与位移的关系。单元分析的方法有直接法和能量法，本节采纳直接法。从连续梁中取出一个典型单元 e，左边为节点 i，右边为节点 j。将节点选择在支承点处，单元两端只产生转角位移、，顺时针转动为正。独立的单元杆端力为弯矩、，顺时针为正。记：为单元 e 的节点位移向量；为单元 e 的杆端力向量。根据结构力学位移法可得如下平衡方程：(2-1)式中：，，、 分别为单元的抗弯刚度和长度。(i，j=1，2)的物理意义为单元处发生单位转角引起的 处的力矩，将式(2-1)写成矩阵形式(2-2)或(2-3)式(2-2)、(2-3)称为梁单元的刚度方程。式中，称为梁单元的刚度矩阵，只要已知梁单元的、 就可计算出单元刚度矩阵。以上分析实现了单元分析的目的，即得到单元刚度方程和单元刚度矩阵。2.1.2 整体分析有限元分析的第二步要将离散的单元集成整体，组集过程可见图 2-2。在组集过程中，必须满足以下条件：图 2-2 离散的单元集成整体(1)变形协调(2-4)(2)节点平衡(2-5)式(2-2)代入(2-5)可得：(2-6)式(2-4)代入(2-6)整理可得：(2-7)写成矩阵形式，得(2-8)式(2-8)称为结构刚度方程，它实际上是结构...