第十五章——复数

第十五章 复 数高考导航考纲要求备考策略 1.理解复数的基本概念、复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.会进行复数代数形式的四则运算．了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义. 4.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想，体会理性思维在数系扩充中的作用. 复数是高中数学中数系的最后一次扩充，近几年高考对复数的考查难度降低，湖南省2024 年高考对本章内容考查的是第 1 题，5分．常以选择、填空题的形式出现，多为容易题. 复习时采纳以下应对策略： 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系. 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 3.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义.知识网络15．1 复数的概念及其运算考点诠释重点：复数的有关概念及复数代数形式的四则运算．难点：运用复数的有关概念解题．典例精析题型一 复数的概念【例 1】 (1)假如复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数 m＝__________；(2)在复平面内，复数对应的点位于第______象限；(3)复数 z＝3i＋1 的共轭复数为 z＝__________.【思路分析】(1)(2)首先把复数化成代数形式，再进行解答，(3)利用 z＋z＝0 求得．【解析】 (1)(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(1＋m3)i 是实数⇒1＋m3＝0⇒m＝－1.(2)因为＝＝1－i，所以在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限．(3)因为 z＝1＋3i，所以 z＝1－3i.【方法归纳】运算此类题目需注意复数的代数形式 z＝a＋bi(a，b∈R)，并注意复数分为实数、虚数、纯虚数，理解复数的几何意义、共轭复数等概念．【举一反三】1.(1)假如 z＝为纯虚数，则实数 a 等于( D )A．0 B．－1 C．1 D．－1 或 1(2)在复平面内，复数 z＝(i 是虚数单位)对应的点位于( C )A ．第一象限B．第二象限C ．第三象限D．第四象限【解析】(1)设 z＝xi，x≠0，则 xi＝⇔1＋ax－(a＋x)i＝0⇔⇔或故选 D.(2)z＝＝(1－i)(－i)＝－1－i，该复数对应的点位于第三象限．故选 C.题型二 复数的相等 【例 2】(1)已知复数 z0＝3＋2i，复数 z 满足 z·z0＝3z＋z0，则复数 z＝__________；(2)已知＝1－ni，其中 m，n 是实数，i 是虚数单位，则 m＋ni＝__________；(3)已知关于 x 的方程 x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0 有实根，...