第四章 一元函数的积分及其应用第一节 不定积分一、原函数与不定积分的概念定 义 1. 设是 定 义 在 某 区 间 的 已 知 函 数 , 若 存 在 函 数， 使 得或,则称为的一个原函数定义２。函数的全体原函数叫做的不定积分,，记为:其中叫做被积函数叫做被积表达式叫做积分常数“”叫做积分号 二、不定积分的性质和基本积分公式性质 1。 不定积分的导数等于被积函数,不定积分的微分等于被积表达式，即.性质 2。 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数,即 性质 3。 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即．性质 4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和,即三、换元积分法和分部积分法定理 1. 设可导,并且则有该方法叫第一换元积分法(inte ｇ r ａｔ ion ｂ y su ｂｓｔｉ tution)，也称凑微分法．定理２。设是可微函数且，若具有原函数，则该方法叫第二换元积分法1) v 容易求得 ； 解题技巧：把被积函数视为两个函数之积 ，按“ 反对幂指三” 的顺序，前者为后者为第二节 定积分概念一、原函数与不定积分的概念二、定积分的定义和存在定理三、定积分的几何意义与定积分的性质1.定积分的几何意义2． 定积分的性质性质 1..性质 2. (是常数)。性质 3. 。性质 4。。推论１. 假如在上, (a〈b）。推论２。性质 5..性质 6。 设 M 与 m 分别是函数上的最大值及最小值,则 （）．性质７ 。(定积分中值定理) 假如函数在闭区间上连续，则在积分区间]上至少存在一点，使下式成立: (）可积的充分条件:定理 1。，则定理２.且只有有限个间断点，则第三节 微积分基本公式一、微积分基本公式1.变上限函数 定义 1。 设函数在区间上连续，则它在任意一个子区间上可积,则 ( ）是上限变量的函数，称此函数为积分上限函数,也称为变上限函数. 2。 微积分基本公式定理 2.1．定积分的换元积分法定理 3。注:设在上连续,证明（1)若在为偶函数,则 =;(２)若在上为奇函数，则 =0.2。定积分的分部积分法定理 4.第四节 定积分的应用（这点跟高中无异，于是乎就偷懒了＝v＝~)一、定积分的微元法其实质是找出的微元的微分表达式.二、定积分在几何中的应用１。 平面图形的面积 ．２。 旋转体的体积三、定积分在物理上的应用１。变力做功2。液体静压四、定积分在医学上的应用
