20240817：如何理解“同时性”

如何理解“同时性”？——一元函数微分学基础问题系列热度 Top5文/似雪飞扬摘 要：对于微积分学习者而言，极限的计算是一个绕不过去的坎. 计算的前提是必须事先建立一个合乎公理的、逻辑自洽的规则，譬如实数的运算应当遵守结合律、分配率和交换律，而矩阵的运算则只满足结合律和分配律，不满足交换律. 同理，在谈及“极限的计算”之前，首先应当明确的是，这件事必须满足什么条件才可进行，这就引出了“极限的运算法则”和微积分新手们常犯的“不满足极限运算的同时性”的错误.关 键 词：极限的四则运算法则 极限的复合运算法则 同时性1引言先看一道题.1 x1 例 1计算极限2limx x x  .ex1 x这道题常常被这样错误地计算：由重要极限 lim 1x  e ，可得lim1x1 xlim21x1 xx lime 1.x exxx exx  ex究其原因，可知该解法在第二个等号处错误地对部分取了极限（不是所有对部分取极限的操作都错误，而这个例外）：x1 x x1 1 2 lim 1  limx  limx x   lim e(1)x exx exx  ex这一步有什么理论依据呢？追根究底我们可以知道，讨论一个极限式子能否化整为零拆成几个部分分别计算的东西，或者说定理、法则，在教材上被称为“极限的运算法则”.2极限的运算法则微积分的讨论载体是函数，函数的运算分为四则运算 ①和复合运算，自然地，极限的运算法则也分为四则运算法则和复合运算法则. 教材上常常只提到了极限的四则运算法则，而没有提到复合运算法则， 这里先不加证明地给出前者.2.1极限的四则运算法则定理 1 极限的四则运算法则若 lim f x   A, lim g x   B ②，则(1) lim f x g x   lim f x  lim g x   AB ；(2) lim f x g x   lim f x lim g x   AB ；(3)若又有 B  0 ，则 lim f x   lim f x   A .g x lim g x  B其他推论及诸如“有界函数与无穷小的乘积是无穷小”等等命题在此不作赘述. 审视上述定理，可以将其核心思想总结为如下一段话：设有一个极限式子表达的是几个部分作四则运算之后再取极限...