25等边三角形知识讲解

等边三角形（基础）【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含 30°角的直角三角形的一个主要性质．3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形. 要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特别的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含 30°的直角三角形含 30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，假如有一个锐角是 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形1、（2024 秋•崇州市期末）如图，已知△ABC 为等边三角形，D 为 BC 延长线上的一点，CE 平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE 为等边三角形．【思路点拨】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出 AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE 为等边三角形．【答案与解析】证明： △ABC 为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，即∠ACD=120°， CE 平分∠ACD，∴∠1=∠2=60°，在△ABD 和△ACE 中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，又∠BAC=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE 为等边三角形．【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边的条件．举一反三：【变式】等边△ABC，P 为 BC 上一点，含 30°、60°的直角三角板 60°角的顶点落在点 P上，使三角板绕 P 点旋转．如图，当 P 为 BC 的三等分点，且 PE⊥AB 时，推断△EPF 的形状.【答案】解： PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形 PEB 中，BE＝BP＝BC＝PC，∴∠BPE＝30°， ∠EPF＝60°，∴FP⊥BC， ∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，∴PE＝PF， ∠EPF＝60°，1213∴△EPF 是等边三角形．2、已知：如图，△ABC 中，AB＝AC，∠ABC＝60°，AD＝CE，求∠BPD 的度数.【答案与解析】证明：在中，AB...