关于柯西中值定理的几种证明方法VIP专享

关于柯西中值定理的几种证明方法摘要：微分中值定理是微分学中重要的基本定理，它可应用于求极限、证明不等式与等式、证明单调性等很多数学问题的讨论。为加深对柯西中值定理的理解，以便更好地应用，本文介绍了柯西中值定理的几种新的有代表性的证明方法。关键词：柯西中值定理;辅助函数;证明一、引言微分中值定理是微分学中的重要定理，其应用广泛，涉及到的应用有讨论函数或导数所对应的方程的根的个数及根的范围；根据函数的性质讨论导函数的性质，或者是根据导函数的性质讨论函数的性质；再有证明一些不等式及求极限等。为解决上述问题，对微分中值定理的深化理解是很必要的。现介绍柯西中值定理的几种新的证明方法，以使其更好地被认知和应用。柯西中值定理的叙述如下：若 f(x)与 g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，且 x(a,b),g"(x)≠0则在(a,b)内至少存在一点使=二、柯西中值定理的证明柯西中值定理证明方法的探讨与讨论历来是一个引人注目的问题。一般常见的证明方法是构造辅助函数再根据罗尔定理加以证明。下面将给出关于这一定理的几种新的证明方法。1.利用复合函数证明柯西中值定理在柯西中值定理中，考虑将 g(x)看成自变量 t，x 看成自变量 t 的函数，则将 f(x)看成中间变量为 x，自变量 t 的复合函数。从而由题设，任意的 x(a,b)，g"(x)存在且 g"(x)≠0。由达布定理知，g"(x)在(a,b)内保号，令 t=g(x)，则 t 是[a,b]上的单调连续函数。于是，存在单调且连续的反函数 x=g-1(t)，t[g(a),g(b)]。由 f(x)在[a,b]上连续知，在[g(a),g(b)]上存在连续的复合函数y=f[g-1(t)]=h(t)。根据参数方程求导公式有==，x(a,b)，故在 x(a,b)即 t[g(a),g(b)]内存在。从而 y=h(t)在[g(a),g(b)]上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在一点使t=g()(g(a),g(b))使==，得＝，（a,b）。2.利用同增量性证明柯西中值定理引理 1 在同一闭区间上连续且在其内部可导的两个函数，若在这一区间上有相同的增量，则在这区间内至少存在一点，使这两个函数在该点的导数值相等。证明：由题设 f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f(a)-f(b)=g(a)-g(b)。则 f(x)-g(x)也在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)-f(b)=g(a)-g(b)，即 f(a)-g(a)=f(b)-g(b)。故 f(x)-g(x)满足罗尔定理条件。则在(a,b)内至少存在一点，使f"()-g"()=0。即 f(x)与 f(x)在点的导数值相等。下面证明柯西中值定理：由题设 f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内...