关于若干个不同形式的极限性质及其相互等价性质的证明

关于若干个不同形式的极限性质及其相互等价性质的证明打开文本图片集摘要：对数列和函数极限的保号性给出了一个等价的形式，并证明了其与若干个极限性质的相互等价性，对各种形式的极限性质给出了它们之间等价的本质关系，便于初学者更好地学习和理解极限及其性质。关键词：极限；保号性；保不等式性；等价性极限理论是微积分的理论基础，而极限的保号性是极限理论中重要的性质，因此深刻理解这些性质，对学好极限理论起着十分重要的作用。本文给出了数列和函数极限保号性等价的一种结论，并证明了各种极限性质之间的等价性。一、数列极限保号性及与其他极限性质的等价性性质 1（1）若 liman=a，则对任何 a′存在正数 N，使得当 n>N 时有 an>a′。（2）若 liman=a，则对任何 a′>a，存在正数 N，使得当 n>N 时有an证明（1）：设 a′（>0），存在正数 N，使得当 n>N 时有—an-a—a-ε=a′。结果得证。对（2）的情形可类似证明。命题 1：性质 1 与下列数列极限的性质是等价的。性质 2（数列极限的保号性）（1）若 liman=a>0，则对任何 a′∈（0，a），存在正数 N，使得当n>N 时有 an>a′。（2）若 liman=a<0，则对任何 a′∈（a，0），存在正数 N，使得当n>N 时有 an性质 3（数列极限的保不等式性）设 an，bn 均为收敛数列，若存在正数 N0，当 n>N0 时有 an≤bn，则存在 liman≤limbn[1]。性质 4（1）若 liman=a>0，则存在正数 N，使得当 n>N 时有 an>0。（2）若 liman=a<0，则存在正数 N，使得当 n>N 时有 an<0[2]。性质 5若 liman=a，limbn=b，aN 时有 an性质 6（1）若存在正数 N，当 n>N 时有 an≥0，且 liman=a 存在，有 a≥0。（2）若存在正数 N，当 n>N 时有 an≤0，且 liman=a 存在，则a≤0[2]。证明：性质 1=性质 2：设 liman=a>0，对任何 a′∈（0，a），即有a′N 时有 an>a′。同理可证 a<0 的情况。性质 2=性质 3：反设结论不成立，即有 liman>limbn，则对数列 an-bn 有，lim（an-bn）=有 liman-limbn=c>0，由性质 2（2）可知，对任何a′∈（0，c），存在正数 N0，使得当 n>N0 时有 an-bn>a′>0，即有an>bn 矛盾，原结论成立。性质 3=性质 4：设 liman=a>0。若结论不成立，即对任意的正数 Nk，都存在 nk>Nk，但有 an≤0，由性质 3 可知，liman≤lim0=0，但 an 又为an 的子列，所以有 liman=liman=a>0，矛盾，同理可证 a<0 的情况...