函数单调性、奇偶性、周期性与对称性一.主要内容:函数单调性、奇偶性、周期性与对称性二.重点难点:1. 在定义域内讨论函数单调性,并会求单调区间。2. 运用函数奇偶性定义判断并证明函数具有的奇偶性质。3. 求周期函数周期,利用函数周期性、对称性,求某一点处函数值,求函数解析式或讨论函数其它性质。三.具体知识:(一) .单调性:1. 在定义域范围内,单调区间可开可闭。2. 单调区间是定义域的子区间。3. 一个函数的两个区间都是增区间(或都是减区间),不能将它们写成并集,要画图考虑。4. 证明一个函数的单调性,在大题中,只能用定义法和倒数法。(但在小题中可以用“增+增=增;减+减=减”)5. 只有取倒数和求负数两种情况会改变函数的单调性。(开根号等不影响其单调性)6. 复合函数:内外层函数:同增异减函数相加:增+增=增;减+减=减“同增异减法则”:对于复合函数 y 二 f[g(x)],若 t 二 g(x)在区间(a,b)上是单调增(减)函数,且 y 二 f(t)在区间(g(a),g(b))(或者g(b),g(a))上是单调函数,那么函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上的单调性由以下表格所示,实施该法则时首先应考虑函数的定义域。t=g(x)y 二 f(t)y 二 f[g(x)]增增增增减减减增减减减增例:7. 利用奇偶性求单调性:奇函数在对称区间上,单调性相同。偶函数在对称区间上,单调性相反例:【典型例题】例 1 已知 f(x)是偶函数,而且在(0,+8)上是减函数,判断 f(x)在(—g,0)上是增函数还是减函数,并加以证明。X2-5x-3丿的单调K | K —K奇+奇=奇偶+偶=偶例 2(1)指出 f(x)二 X2-2|x|-3 的单调区间,并说明在每一区间上的增减性(2)讨论 y=log讨论函数 f(x)=aX(a>0)在 x 丘(-1,1)上的单调性。例 3.x2—1(二)奇偶性:奇*奇=偶偶*偶=偶奇*偶=奇奇函数:奇+偶=非奇非偶偶函数:典型例题】例 1.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|x+1_|x-11+x(2)f(x)=(x-1)•:-—1-x(3)f(x)=6)f(x)®(x)•阳(其中®(x)为奇函数,a>0 且 a 丰 1)4)f(x)5)f(x)lg(+、X2+1x(l—x)(x<0)x(l+x)(x>0)(三) 周期性:关于函数的周期性,下面结论是成立的:(1)若 T 为函数 f(x)的一个周期,则 kT 也是 f(x)的周期(k 为非零整数),这就是说,一个函数如果有周期,就有无数多个。在所有的周期中,如果存在一个最小的正数,那么这个最小的正数叫做函数的最小正周期。T(2)若丁为 y=f(x)的最小正周期,则为 y=Af(®x+申)+b 的最小正周阿期,其中 WHO。据...