导数专题：导数与同构

（2）xex=einxex=einx+x=einx-⑷x+lnx=lnex+lnx=lnxex（5）x 一 lnx=lnex一 lnx=lnx（1）xlnx=elnxlnxx（2）=xe-x=-（-ex⑶=x1（5）応=-x-1-elnx-1lnx-1同构式与导数学习目标1．理解同构式的概念；2．理解函数的单调性及应用；3．掌握指对函数同构式的转变；4．掌握同构式的应用．知识要点梳理1、同构式：具有相同结构的两个代数式称为同构式，两个同构式可以由同一个代数式通过变量代换而得2、指对变形式：(1).lnex=x=einx(核心公式)xelnx⑶=exex2.指对同构式：fx)=xex(母函数).还有常见同构式:xex与 xlnx 型：xlnx=elnxlnx,xex=elnxex；x+lnx 与 x+ex 型：x+lnx=lnx+elnx,x+ex=elnx+ex.（4）=—x-ilnx-i=-elnx-1lnx-1x3.注意：一个概念:同构式；一个核心：lnex=x=elnx；一个方法:指对式分离，构造同构式；一个提醒:注意同构后的整体变量范围.引例自从 20 年山东卷 21 题的第二问出现了同构解法之后，今年在各省市的模拟题中用同构法解决的题目层出不穷，颇有流行之势.我们先来看一下题目.题目：(2020.山东卷 21 题)已知函数 f(x)=aex-1-lnx+lna.(1) 当 a=e 时，求曲线 y=f(x)在点Cf(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.(2) 若 f(x)>1,求 a 取值范围.第一问就不再多说，我们来看一下第二问：(构造同构式)由 f(x)>1，即 aex_1—lnx+lna>1,elna+x-1一 lnx+lna>1oelna+x-1一 lnx+x 一 1>lnx+x=elnx+lnxxC解：x 丘珀>xex221答案 CDxex】exj—lnx,2211设 f(x)=ex一 lnx,xG(0,1)C,D：f'(x)=>-+(同字母同侧)，设/(x)=—,xG(O，1),ex2ex1ex1—x—，丁 xG(0,1),・•/(x)>0ex例 2.对任意 x>0 不等式 2ae2x-lnx+lna>0 恒成立，则实数 a 的最小值为(2C・一1D.解：由题意，x1x2ae2x—lnx+lna>0n2ae2x>ln(指对分离)n2e2x>lnxxin丄 xn2xe2x>lnn2xe2x>ealn；设 f(x)=xex,f'(x)=ex(1+x)>0,f(x)在(0,+8)单调递增,_xxxxf(2x)xxxx当 ln<0 时,2xe2x>-ln 恒成立，.•.只要考虑 ln>0 的情况2x>lnnlne2x>lnne2x>na>aaae2例 1•例 1.若 0<叮 x2<1则()Aex2->lnx-lnx211B丘珀-ex2ex+x,得到 g'(x)>ex+1>0,故 g(x)>ex+x 在 R 上单调递增.又 g(Ina+x-1)>g(Inx)所以 lna+x-1>lnx,即 lna>(lnx-x+1)=0min从而可得：a>1 这种方法看起来非常的简洁,只需构造一个简单函数即可典型例题—、x…、1—2x设 h(x)=,h(x)=e2f1),.•.xG0,—,h'(x)>0,I2丿例 3.已知不等式...