圆的一般方程公开课课件contents目录•圆的基本概念与性质•圆的一般方程及其推导•直线与圆的位置关系•圆与圆的位置关系•圆的切线性质及应用•圆的综合应用举例01圆的基本概念与性质03圆的表示方法一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。01圆的定义平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。02基本要素圆心、半径。圆的定义及基本要素123圆的中心，用字母O表示。圆心连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示。半径通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表示，d=2r。直径圆心、半径与直径C=2πr，其中π为圆周率，约等于3.14159。周长公式S=πr²。面积公式圆的周长和面积公式圆弧圆上任意两点间的部分。扇形由两个半径和它们所夹的圆弧围成的图形。弓形由弦及其所对的弧围成的图形。圆弧、扇形及弓形区域02圆的一般方程及其推导$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$标准方程形式$(a,b)$圆心坐标$r$半径表示以点$(a,b)$为圆心，$r$为半径的圆方程意义圆的标准方程回顾$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$一般方程形式通过配方将标准方程转化为一般方程形式，即$(x+frac{D}{2})^{2}+(y+frac{E}{2})^{2}=frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}$推导过程表示一个圆，其中$D,E,F$为常数，且$D^{2}+E^{2}-4F>0$方程意义一般方程形式及推导过程$(-frac{D}{2},-frac{E}{2})$圆心坐标求解$r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$半径求解在求解过程中要确保$D^{2}+E^{2}-4F>0$，否则方程不表示一个圆。注意事项圆心坐标和半径求解方法$x^{2}+y^{2}=r^{2}$，此时$D=E=0$，$F=-r^{2}$圆心在原点$x^{2}+y^{2}+Dx=0$，此时$E=0$，圆心坐标为$(-frac{D}{2},0)$圆心在x轴上$x^{2}+y^{2}+Ey=0$，此时$D=0$，圆心坐标为$(0,-frac{E}{2})$圆心在y轴上$x^{2}+y^{2}=a$，此时$D=E=0$，$F=-a$半径为$sqrt{a}$的圆特殊情况下的圆方程03直线与圆的位置关系直线方程与圆方程联立，消元后得到一元二次方程，判断其判…若$Delta>0$，则直线与圆相交。要点一要点二利用圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$比较若$dr$，则直线与圆相离。直线与圆相离条件判断1.例1判断直线$l:x+y=1$与圆$C:x^2+y^2=1$的位置关系。•解析首先计算圆心$(0,0)$到直线$l$的距离$d=frac{|0+0-1|}{sqrt{1^2+1^2}}=frac{sqrt{2}}{2}$。由于圆的半径$r=1$，且$frac{sqrt{2}}{2}<1$，因此直线与圆相交。2.例2判断直线$l:x-y+1=0$与圆$C:(x-1)^2+(y-1)^2=1$的位置关系。典型例题解析•解析首先计算圆心$(1,1)$到直线$l$的距离$d=frac{|1-1+1|}{sqrt{1^2+(-1)^2}}=frac{sqrt{2}}{2}$。由于圆的半径$r=1$，且$frac{sqrt{2}}{2}=r$，因此直线与圆相切。3.例3判断直线$l:2x+y+3=0$与圆$C:x^2+y^2-4x+6y+9=0$的位置关系。•解析将圆方程化为标准形式$(x-2)^2+(y+3)^2=4$，得到圆心$(2,-3)$和半径$r=2$。计算圆心到直线的距离$d=frac{|2times2+(-3)+3|}{sqrt{2^2+1^2}}=frac{4sqrt{5}}{5}$。由于$frac{4sqrt{5}}{5}>2$，因此直线与圆相离。典型例题解析04圆与圆的位置关系两圆相交条件判断两圆圆心距小于两圆半径之和，且大于两圆半径之差，则两圆相交。通过比较两圆方程，消元后得到一元二次方程，若该方程有两个不等实根，则两圆相交。两圆相切条件判断两圆圆心距等于两圆半径之和或两圆半径之差，则两圆相切。通过比较两圆方程，消元后得到一元二次方程，若该方程有两个相等实根，则两圆相切。VS两圆圆心距大于两圆半径之和或小于两圆半径之差（包含内含情况），则两圆相离。通过比较两圆方程，消元后得到一元二次方程，若该方程无实根，则两圆相离。两圆相离条件判断例题1已知两圆的方程分别为$x^2+y^2=4$和$(x-3)^2+(y-4)^2=9$，判断两圆的位置关系。解析首先求...
