中常用函数模型归纳及应用山东莘县观城中学 郭银生 岳红霞高中数学中，函数是重点内容，函数思想贯穿于数学的每一个领域，函数图象是数形结合的常用工具。复杂的函数问题也是有简单的基本初等函数组合而成，熟练掌握常见的函数模型对解决函数综合问题大有裨益。高考试题中，函数问题是“大块头”，各套试题所占比重在 30%以上。现归纳常用的函数模型及其常见应用如下：一．常数函数 y=a判断函数奇偶性最常用的模型，a=0 时，既是奇函数，又是偶函数，a≠0 时只是偶函数。关于方程解的个数问题时常用。例 1．已知 x∈(0, ],关于方程 2sin(x+)=a 有两个不同的实数解，则实数 a 的取植范围是（ ）A．[-2，2] B.[,2] C.( ,2] D.( ,2)解析；令 y=2sin(x+), y=a画出函数 y=2sin(x+)，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知( ,2)，选 D7654321-1-2-3-4-5-6-7-10-8-6-4-2246810二．一次函数 y=kx+b (k≠0)函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。有定义域限制时，要考虑区间的端点值。例 2．不等式 2x +1≤m(x-1)对一切│m│≤2 恒成立，则 x 的范围是（ ）A．-2≤x≤2 B. ≤x≤0 C.0≤x≤ D. ≤x≤解析：不等式可化为 m(x-1)- 2x +1≥0设 f(m)= m(x-1)- 2x +1若 x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则 x≠1则 f(m)是关于 m 的一次函数，要使不等式在│m│≤2 条件下恒成立，只需，解之可得答案 D 三．二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。用心 爱心 专心例 3．（1）.若关于 x 的方程 x +ax+a -1=0 有一个正根和一个负根，则 a 的取值范围是（ ）解析：令 f(x)= x +ax+a -1由题意得 f(0)= a -1 ＜0,即-1＜a＜1 即可。一元二次方程的根分布问题可借助二次函数图象解决，通常考虑二次函数的开口方向，判别式对称轴与根的位置关系，端点函数值四个方面。也可借助韦达定理。例 4．函数 f(x)= x -4x-4 在闭区间[t,t+1] t∈R 上的最小值记为 g(t),试求 g(t)的表达式。解：f(x)=（x-2） -8当 t＞2 时，f(x)在[t,t+1]上是增函数∴g(t)= f(t)=t -4t-4当 t≤2≤...
