（人教专用）2014高考数学总复习热点重点难点专题透析专题1第6课时高考中的函数与导数解答题练习题理(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．(2013·山东聊城三模)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解析：设火车的速度为xkm/h，甲、乙两城距离为akm.由题意，令40＝k·203，∴k＝，则总费用f(x)＝(kx3＋400)·＝a.∴f(x)＝a(0＜x≤100)．由f′(x)＝＝0，得x＝20.当0＜x＜20时，f′(x)＜0；当20＜x＜100时，f′(x)＞0.∴当x＝20时，f(x)取最小值，即速度为20km/h时，总费用最少．2．(2013·北京昌平一模)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4(a∈R)．(1)若函数y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线的倾斜角为，求f(x)在[－1,1]上的最小值；(2)若存在x0∈(0，＋∞)，使f(x0)＞0，求a的取值范围．解析：(1)f′(x)＝－3x2＋2ax.根据题意得，f′(1)＝tan＝1，∴－3＋2a＝1，即a＝2.∴f(x)＝－x3＋2x2－4，则f′(x)＝－3x2＋4x.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.x－1(－1,0)0(0,1)1f′(x)－0＋f(x)－1－4－3∴当x∈[－1,1]时，f(x)的最小值为f(0)＝－4.(2)∵f′(x)＝－3x.①若a≤0，则当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(0)＝－4，则当x＞0时，f(x)＜－4.∴当a≤0时，不存在x0＞0，使f(x0)＞0.②若a＞0，则当0＜x＜时，f′(x)＞0；当x＞时，f′(x)＜0.从而f(x)在上单调递增，在上单调递减．∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)max＝f＝－＋－4＝－4.根据题意得，－4＞0，即a3＞27.∴a＞3.综上可知，a的取值范围是(3，＋∞)．3．(2012·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0.解析：(1)由题意得f′(x)＝12x2－2a.当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a＞0时，f′(x)＝12，此时函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.(2)证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x2－2＝6.于是x01g′(x)－0＋g(x)1减极小值增1所以g(x)min＝g＝1－＞0.所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0.故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0.4．(2013·山西高三上学期诊断考试)已知函数f(x)＝m(x－1)2－2x＋3＋lnx，m≥1.(1)当m＝时，求函数f(x)在区间[1,3]上的极小值；(2)求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；(3)是否存在实数m，使曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)f′(x)＝m(x－1)－2＋(x＞0)．当m＝时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝.f(x)，f′(x)在x∈(0，＋∞)上的变化情况如下表：x2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以当x＝2时，函数f(x)在x∈[1,3]上取到极小值，且极小值为f(2)＝ln2－.(2)证明：令f′(x)＝0，得mx2－(m＋2)x＋1＝0.(*)因为Δ＝(m＋2)2－4m＝m2＋4＞0，所以方程(*)存在两个不等实根，记为a，b(a＜b)．因为m≥1，所以，所以a＞0，b＞0，即方程(*)有两个不等的正根，因此f′(x)＜0的解为(a，b)．故函数f(x)存在单调递减区间[a，b]．(3)因为f′(1)＝－1，所以曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y＝－x＋2.若切线l与曲线C有且只有一个公共点，则方程m(x－1)2－2x＋3＋lnx＝－x＋2有且只有一个实根．显然x＝1是该方程的一个根．令g(x)＝m(x－1)2－x＋1＋lnx，则g′(x)＝m(x－1)－1＋＝.当m＝1时，有g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝1是方程的唯一解，m＝1符合题意．当m＞1时，由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，则x2∈(0,1)，易得g(x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g(x2)＞g(x1)＝0，又当x趋近0时，g(x)趋近－∞，所以函数g(x)在内也有一个解，m＞1不符合题意．综上，存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点．
