（人教专用）2014高考数学总复习热点重点难点专题透析专题3第3课时高考中的数列解答题练习题理(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．(2013·武汉市武昌区联合考试)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1；数列{bn}满足bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N*)，b1＝1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.解析：(1)由Sn＝2an－1，得S1＝2a1－1，∴a1＝1.又Sn＝2an－1，Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，两式相减，得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，an＝2an－2an－1.∴an＝2an－1，n≥2.∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．∴an＝1·2n－1＝2n－1.由bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N*)，得－＝1.又b1＝1，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．∴＝1＋(n－1)·1＝n.∴bn＝.(2)由(1)可知＝n·2n－1，∵Tn＝1·20＋2·21＋…＋n·2n－1，∴2Tn＝1·21＋2·22＋…＋n·2n.两式相减，得－Tn＝1＋21＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝－1＋2n－n·2n.∴Tn＝(n－1)·2n＋1.2．(2013·福建普通高中质量检查)某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨．(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p，为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内，求p的取值范围．解析：(1)设“十二五”期间，该城市共排放SO2约y万吨，依题意，2011年至2015年SO2的年排放量构成首项为9.3，公差为－0.3的等差数列，所以y＝5×9.3＋×(－0.3)＝43.5(万吨)．所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO2约43.5万吨．(2)由已知得，2012年的SO2年排放量为9.3－0.3＝9(万吨)，所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9，公比为1－p的等比数列．由题意得9×(1－p)8＜6，由于0＜p＜1，所以1－p＜，所以1－p＜0.9505，解得p＞4.95%.所以SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为4.95%＜p＜1.3．(2013·武汉市调研)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足6Sn＝a＋3an＋2，且a1，a2，a6是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，n∈N*，证明：3Tn＋1＝2bn＋1－an＋1(n∈N*)．解析：(1)∵6Sn＝a＋3an＋2，①∴6a1＝a＋3a1＋2，解得a1＝1或a1＝2.又6Sn－1＝a＋3an－1＋2(n≥2)，②由①－②，得6an＝(a－a)＋3(an－an－1)，即(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝3(n≥2)．当a1＝2时，a2＝5，a6＝17，此时a1，a2，a6不成等比数列，∴a1≠2；当a1＝1时，a2＝4，a6＝16，此时a1，a2，a6成等比数列，∴a1＝1.∴{an}是以1为首项3为公差的等差数列，{bn}是以1为首项4为公比的等比数列．∴an＝3n－2，bn＝4n－1.(2)由(1)得Tn＝1×4n－1＋4×4n－2＋…＋(3n－5)×41＋(3n－2)×40，③∴4Tn＝1×4n＋4×4n－1＋7×4n－2＋…＋(3n－2)×41.④由④－③，得3Tn＝4n＋3×(4n－1＋4n－2＋…＋41)－(3n－2)＝4n＋12×－(3n－2)＝2×4n－(3n＋1)－1＝2bn＋1－an＋1－1，∴3Tn＋1＝2bn＋1－an＋1(n∈N*)．4．(2013·湖北八校联考)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项an；(2)若数列{bn}满足bn＝(3n－1)an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλ＜Tn对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．解析：(1)由题知，＝＝＋1，∴＋＝3，∴＋＝·3n－1＝，∴an＝.(2)由(1)知，bn＝(3n－1)··＝n·n－1，Tn＝1×1＋2×1＋3×2＋…＋n·n－1，Tn＝1×＋2×2＋…＋(n－1)n－1＋nn，两式相减得，Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－，∴Tn＝4－.∵Tn＋1－Tn＝－＝＞0，∴|Tn|为递增数列．①当n为正奇数时，－λ＜Tn对一切正奇数成立，∵(Tn)min＝T1＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1；②当n为正偶数时，λ＜Tn对一切正偶数成立，∵(Tn)min＝T2＝2，∴λ＜2.综合①②知，－1＜λ＜2.
