第 3 课时 平面向量的数量积1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和 ，过 O 点作＝，＝ ，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与 的 ．当 θ＝0°时，与 ；当 θ＝180°时，与 ；如果与 的夹角是 90°，我们说与 垂直，记作 ．2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与 ，它们的夹角为 θ，则数量 叫做与 的数量积（或内积），记作· ，即· ＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1, y1)， ＝(x2, y2)，则· ＝ ．3．向量的数量积的几何意义：| |cosθ 叫做向量 在方向上的投影 (θ 是向量与 的夹角)．· 的几何意义是，数量· 等于 ．4．向量数量积的性质：设、 都是非零向量， 是单位向量，θ 是与 的夹角．⑴ ·＝· ＝ ⑵ ⊥ ⑶ 当与 同向时，· ＝ ；当与 反向时，· ＝ ．⑷ cosθ＝ ．⑸ |· |≤ 5．向量数量积的运算律：⑴ · ＝ ；⑵ (λ)· ＝ ＝·(λ )⑶ (＋ )· ＝ 例 1. 已知||＝4，| |＝5，且与 的夹角为 60°，求：(2＋3 )·(3－2 )．解:(2＋3 )(3－2 )＝－4变式训练 1.已知||＝3，| |＝4，|＋ |＝5，求|2－3 |的值．典型例题基础过关解:例 2. 已知向量＝(sin，1)， ＝(1，cos)，－．(1) 若 a⊥b，求；(2) 求|＋ |的最大值．解：(1)若，则即 而，所以(2)当时，的最大值为变式训练 2：已知，，其中．(1)求证： 与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．证明： 与互相垂直（2）,,,,而，例 3. 已知 O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，判断△ABC是哪类三角形．解:设 BC 的中点为 D，则()()＝02·＝0BC⊥AD△ABC 是等腰三角形.变式训练 3：若，则△ABC 的形状是 . 解: 直角三角形.提示： 例 4. 已知向量＝(cosθ, sinθ)和＝(－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且||＝，求 cos()的值.解:＝(cosθ－sinθ＋, cosθ＋sinθ)由已知(cosθ－sinθ＋)2＋(cosθ＋sinθ)2＝化简：cos又 cos2∵θ∈(π, 2π) ∴cos<0∴cos＝－变式训练 4.平面向量，若存在不同时为的实数和 ，使,且，试求函数关系式.解：由得1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．2．注意· 与 ab 的区别．· ＝0≠＞＝ ，或 ＝ ． 3．应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合．小结归纳
