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2010高三数学高考专题复习系列导学案:不等式-算术平均数与几何平均数

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第 2 课 时 算 术 平 均 数 与 几 何 平 均 数1 .a>0 ,b>0 时,称 为a ,b 的算术平均数;称 为a ,b 的几何平均数.2 .定理1 如果a 、bR ,那么a2 +b2 2ab (当且仅当 时 取“=”号)3 .定理2 如果a 、b,那么≥ (当且仅当a =b 时取“=”号)即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4 .已知x 、y,x +y =P ,xy=S. 有下列命题:(1) 如果S 是定值,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值 .(2) 如果P 是定值,那么当且仅当x =y 时,xy有最大值 .例1 .设a 、bR,试比较, ,,的大小. 解: a 、bR+,∴≥2即≤,当且仅当a =b 时等号成立.又≤= ∴≤当且仅当a =b 时等号成立. 而≤于是≤≤≤( 当且仅当a =b 时取“=”号) .说明:题中的、、、分别叫做正数的调和平均数,几何平均数,算术平均数,平方平均数.也可取特殊值,得出它们的大小关系,然后再证明.变式训练 1:(1)设,已知命题;命题,则是成立的 ( )A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件典型例题解:B.解析: 是等号成立的条件.(2 )若为△ABC的三条边,且,则( )A . B . C . D .解:D .解析:,又 ∴。(3 )设x > 0, y > 0,, , a 与b 的大小关系( ) A .a >b B.a 0 )则盐水就变咸了,试根据这一事实提炼一个不等式 .解: .解析: 由盐的浓度变大得.例2. 已知a ,b ,x ,y∈R+ (a ,b 为常数),,求x +y 的最小值.解: a +b +2变式训练2 :已知a ,b ,x ,y∈R+ (a ,b 为常数),a +b =10, ,若 x +y 的最小值为18,求a ,b 的值.解:或.例3. 已知a, b 都是正数,并且a  b ,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2解:证:(a5 + b5 )  (a2b3 + a3b2) = ( a5  a3b2) + (b5  a2b3 ) = a3 (a2  b2 )  b3 (a2  b2) = (a2  b2 ) (a3  b3)= (a + b)(a  b)2(a2 + ab + b2) a, b 都是正数,∴a + b, a2 + ab + b2 > 0又 a  b ,∴(a  b)2 > 0 ∴(a + b)(a  b)2(a2 + ab + b2) > 0即:a5 + b5 > a2b3 + a3b2变式训练3 :...

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