2011 年高考第二轮专题复习（教学案）：导数考纲指要：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。考点扫描：导数在研究函数中的应用① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。考题先知：例 1．设函数，其中实数 A、B、C 满足：①； ②。 （1）求证：； （2）设，求证：。证明：（1）由得：，又，所以，（2）当时，等价于当时，，所以只须证明当时，，由②知：且，所以为开口向上的抛物线，其对称轴方程，又由得：，即，所以，当时，有==，所以为[0，2]上的增函数。因此，当时，有，即当时，。 评注：本题以一元三次函数为载体，以导数作为工具，进一步研究函数性质、代数式变形、解析几何和不等式证明等数学问题，对于这些题目，导数仅仅是背景，核心还是初等数学的变化技巧。例 2 已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且。 (Ⅰ) 求的表达式；（Ⅱ）设，若对任意的, 不等式恒成立，求实数的最小值。 解析：(Ⅰ) 因为在区间上单调递增，在区间单 调 递 减 ， 所 以 方 程的 两 根 满 足。 由，得，所以，而，故，则，从而。故（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立，等价于在区间上，。当时，，所以在 区 间上 单 调 递 减 ， 从 而 在 区 间上 ，，则由，解得或，结合，可得实数的最小值为。复习智略：例 3．(1)已知，试求函数的最小值； （2）若，求证：。分析：求函数最值的常见方法是通过求导，确定函数的单调区间，从而求出其最值。解：（1）对于函数，求导得，由得，当时，，函数是递减函数；当时，，函数是递增函数；所以当时，函数。（2）由第（1）题得：从而，，，三式相加得：变 化 ： 由 （ 1 ） 知 ：， 从 而，，，三式相加，结合得：。 联 想 ： 在 三 角 函 数 中 ， 有 公 式， 因 此 ， 若， 且，则。类比：若，则检测评估：1.如果 f '(x)是二次函数, 且 f '(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,－), 那么曲线y=f(x)上任一点的切线...
