2011 年高考第二轮专题复习（教学案）：数列考纲指要：数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，通常以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函 数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，考点扫描：1．等差数列定义、通项公式、前 n 项和公式。2．等比数列定义、通项公式、前 n 项和公式。3．数列求通项的常用方法如： ①作新数列法；②累差叠加法；③归纳、猜想法；而对于递归数列，则常用①归纳、猜想、数学归纳法证明；②迭代法；③代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。4．数列求和常用方法如：①公式法；②裂项求和；③错项相消法；④并项求和。考题先知：例 1. 已知，① 求函数的表达式；② 定义数列,求数列的通项；③ 求证：对任意的有解：①由，所以 ② ③不等式等价于 因为 例 2．如图，已知一类椭圆：， 若 椭 圆Cn 上 有 一 点 Pn 到 右 准 线的 距 离是与的等差中项，其中 Fn、Gn分别是椭圆的左、右焦点。（1）试证：； （ 2 ） 取， 并 用 Sn 表 示的 面 积 ， 试 证 ：且Oy Pn dn xFn O Gn。证明：（1）由题设与椭圆的几何性质得：2=+=2，故=1，设，则右准线的方程为：，从而由得，即，有；（2）设点，则由=1 得，从而，所以=，因函数中，由得所以 Sn在区间上是增函数，在区间（）上是减函数，由，可得，知是递增数列，而，故可证且。 评注：这是一道较为综合的数列与解析几何结合的题目，涉及到的知识较多，有椭圆的相关知识，列不等式与解不等式，构造函数，利用导数证明其单调性等，这也表明数列只是一个特殊函数的本原问题，提示了数列问题的函数思想方法。复习智略：例 3 已知二次函数 y=f(x)在 x=处取得最小值－ (t＞0),f(1)=0 (1)求 y=f(x)的表达式；(2)若任意实数 x 都满足等式 f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用 t表示 an和 bn；(3)设圆 Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆 Cn与 Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记 Sn为前 n 个圆的面积之和，求 r n、Sn 解 (1)设 f(x)=a(x－)2－，由 f(1)=0 得 a=1 ∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1 (2)将 f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得 (x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn +1，上式对任意的 x∈R 都成立，取 x=1 和 x=t+1 ...
