第 2 课时 充要条件1．充分条件：如果则 p 叫做 q 的 条件，q 叫做 p 的 条件．2．必要条件：如果则 p 叫做 q 的 条件，q 叫做 p 的 条件．3．充要条件：如果且则 p 叫做 q 的 条件．例 1．在下列各题中，判断 A 是 B的什么条件，并说明理由．1． A：，B：方程有实根；2． A：，B：；3．A：；B：；4．A：圆与直线相切，B：分析：要判断 A 是 B 的什么条件，只要判断由 A 能否推出 B 和由 B 能否推出 A 即可．解：(1) 当，取，则方程无实根；若方程有实根，则由推出或6，由此可推出．所以 A 是 B 的必要非充分条件．(2)若则所以成立若成立 取，知不一定成立，故 A 是 B 的充分不必要条件．(3) 由，由解得，所以 A 推不出 B，但 B 可以推出 A，故 A 是 B 的必要非充分条件．(4) 直线与圆相切圆(0，0)到直线的距离，即＝＝.所以 A 是 B 的充要条件.变式训练 1：指出下列命题中，p 是 q 的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）在△ABC 中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB；（2）对于实数 x、y，p：x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6;（3）非空集合 A、B 中，p：x∈A∪B，q：x∈B；（4）已知 x、y∈R，p：（x-1）2+（y-2）2=0，q：（x-1）（y-2）=0.解： （1）在△ABC 中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，若 sinA=sinB，因为 A 与 B 不可能互补（因为三角形三个内角和为 180°),所以只有 A=B.故 p 是 q 的充要条件.(2)易知: p:x+y=8, q:x=2 且 y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是 q 的充分不必要条件.(3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B,但 x∈B 一定有 x∈A∪B,所以 p 是 q 的必要不充分条件.(4)条件 p:x=1 且 y=2,条件 q:x=1 或 y=2,典型例题基础过关所以 pq 但 qp,故 p 是 q 的充分不必要条件.例 2. 已知 p：－2＜m＜0，0＜n＜1；q：关于 x 的方程 x2＋mx＋n＝0 有两个小于 1 的正根，试分析 p 是 q 的什么条件.解：若方程 x2＋mx＋n＝0 有两个小于 1 的正根，设为 x1、x2．则 0＜x1＜1、0＜x2＜1， x1＋x2＝－m，x1x2＝n∴0＜－m＜2，0＜n＜1 ∴－2＜m＜0，0＜n＜1∴p 是 q 的必要条件．又若－2＜m＜0，0＜n＜1，不妨设 m＝－1，n＝．则方程为 x2－x＋＝0， △＝...
