第 1 课时 三角形中的有关问题变式训练 1：(1)的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且，则 （ ）A． B． C． D．解：B 提示：利用余弦定理（2）在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A.B. C.D. 解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在△ABC 中，已知，，则的值为（ ）A B C 或 D 解：A 提示:在△ABC 中，由 知角 B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是 ．解： 提示：由可得（5）在△ABC 中，= ．解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得 例 3. 已知在△ABC 中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角 A、B、C．解：由 sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得 sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0，所以 sinB(sinA－cosA)＝0典型例题∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA＝sinA，由 A∈(0, π)，知 A＝从而 B＋C＝，由sinB＋cos2C＝0 得 sinB＋cos2(－B)＝0cos＝(－2B)＝cos[2π－(＋2B)]＝cos(＋2B)＝－sin2B得 sinB－sin2B＝0，亦即 sinB－2sinBcosB＝0，由此各 cosB＝，B＝，C＝∴A＝ B＝ C＝变式训练 3：已知△ABC 中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC 外接圆半径为.（1）求∠C；（2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由 2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB 得2（－）=（a－b）.又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==.又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A－cos2A+=sin（2A－30°）+.∴当 2A=120°，即 A=60°时，Smax=
