RPQαCBA第 1 课时 平面的基本性质公理 1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)．公理 2 如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)．公理 3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论 2 经过两条 直线，有且只有一个平面．推论 3 经过两条 直线，有且只有一个平面．例 1．正方体 ABCD-A1B1C1D1中，对角线 A1C 与平面 BDC1交于 O，AC、BD 交于点 M．求证：点 C1、O、M 共线．证明：A1A∥CC1确定平面 A1CA1C面 A1C O∈面 A1CO∈A1C面 BC1D∩直线 A1C＝O O∈面 BC1DO 在面 A1C 与平面 BC1D 的交线 C1M 上∴C1、O、M 共线变式训练 1：已知空间四点 A、B、C、D 不在同一平面内，求证：直线 AB 和 CD 既不相交也不平行．提示：反证法．例 2. 已知直线 与三条平行线 a、b、c 都相交．求证： 与 a、b、c 共面．证明：设 a∩l＝A b∩l＝B c∩l＝Ca∥b a、b 确定平面 α lβ A∈a, B∈b b∥cb、c 确定平面 β 同理可证 lβ所以 α、β 均过相交直线 b、l α、β 重合 cα a、b、c、l 共面变式训练 2：如图，△ABC 在平面 α 外，它的三条边所在的直线 AB、BC、CA 分别交平面 α于 P、Q、R 点．求证：P、Q、R 共线．证明：设平面 ABC∩α＝l，由于 P＝AB∩α，即 P＝平面 ABC∩α＝l，即点 P 在直线 l 上．同理可证点 Q、R 在直线 l 上．∴P、Q、R 共线，共线于直线 l．例 3. 若△ABC 所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线 AA1、BB1、CC1相交于一点 O，求证： (1) AB 和 A1B1、BC 和 B1C1分别在同一个平面内； (2) 如果 AB 和 A1B1，BC 和 B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上．证明：(1) AA1∩BB1＝0，∴AA1与 BB1确定平面 α，又 A∈a，B∈α，A1∈α，B1∈α，∴ABα，A1B1α，∴AB、A1B1在同一个平面内同理 BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内OC1B1A1ABC典型例题基础过关CODABMB1C1D1A1(2) 设 AB∩A 1B1＝X，BC∩B1C1＝Y，AC∩A1C1＝Z，则只需证明 X、Y、Z 三点都是平面 A1B1C1与ABC 的公共点即可．变式训练 3：如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E 为 AB 中点，F 为 AA1中点，求证：(1) E、C．...
