2012年高考数学《立体几何初步》专题 球学案

第 11 课时 球1．球：与定点的距离 或 定长的点的集合．2．球的性质(1) 用一个平面去截一个球，截面是 ．(2)球心和截面圆心的连线 于截面．(3) 球心到截面的距离与球半径及截面的半径 有以下关系： ．(4) 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ．(5) 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫 ．3．球的表面积公式和体积公式：设球的半径为 R，则球的表面积 S＝ ；球的体积V＝ ．例 1. 如图，A、B、C 是半径为 1 的球面上的三点，B、C 两点间的球面距离为，点 A 与B、C 两点的球面距离都为，O 为球心，求：(1) 的大小； (2) 球心O 到截面 ABC 的距离．解：(1) 因为 B、C 两点的球面距离为，即 B、C 两点与球心连线所夹圆心角为，点 A 与B、C 两点的球面距离都为，即均为直角，所以(2) 因为⊿BOC，⊿ABC 都是等腰三角形，取 BC 的中点 M，连 OM， AM，过 O 作 OH⊥AM 于 H，可证得 OH 即为 O 到截面 ABC 的距离．变式训练 1： 球面上有三点 A、B、C，A 和 B 及 A 和 C 之间的球面距离是大圆周长的，B 和C 之间的球面距离是大圆周长的，且球心到截面 ABC 的距离是，求球的体积．解：设球心为 O，由已知，易得∠AOB＝∠AOC＝，∠BOC＝，过 O 作 OD⊥BC 于 D，连AD，再过 O 作 OE⊥AD 于 E，则 OE⊥平面 ABC 于 E，∴OE＝. 在 Rt△AOD 中，由 AD·OE＝典型例题基础过关AO·ODOA＝R＝1.∴ V 球＝πR3＝π．例 2. 如图，四棱锥 A－BCDE 中，，且 AC⊥BC，AE⊥BE．(1) 求证：A、B、C、D、E 五点都在以 AB 为直径的同一球面上；(2) 若求 B、D 两点间的球面距离．解：(1) 因为 AD⊥底面 BCDE，所以 AD⊥BC，AD⊥BE，又因为 AC⊥BC，AE⊥BE，所以BC⊥CD，BE⊥ED．故 B、C、D、E 四点共圆，BD 为此圆的直径．取 BD 的中点 M，AB 的中点 N，连接 BD、AB 的中点 MN，则 MN∥AD，所以 MN⊥底面BCDE，即 N 的射影是圆的圆心 M，有 AM＝BM＝CM＝DM＝EM，故五点共球且直 径为 AB．(2) 若∠CBE＝90°，则底面四边形 BCDE 是一个矩形，连接 DN，因为：所以 B、D 两点间的球面距离是.变式训练 2：过半径为 R 的球面上一点 M 作三条两两互相垂直的弦 MA、MB、MC．(1) 求证：MA2＋MB2＋MC2为定值；(2) 求△MAB，△MAC，△MBC 面积之...