第 4 课时 直线和平面垂直1．直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直．2．直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．3．直线和平面垂直性质若 a⊥，b则 若 a⊥，b⊥则 若 a⊥，a⊥则 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．4．点到平面距离过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离．5．直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离．例 1. OA、OB、OC 两两互相垂直，G 为ABC 的垂心．求证：OG平面 ABC．证明： OA、OB、OC 两两互相垂直 OA⊥平面 OBC ∴OA⊥BC又 G 为△ABC 的垂心∴ AG⊥BC, ∴ BC⊥面 OAG∴BC⊥OG同理可证：AC⊥OG 又 BC∩AC＝C∴OG⊥平面 ABC变式训练 1：如图 SA⊥面 ABC，∠ABC＝90°，AE⊥SB，且 SB∩AE＝E，AF⊥SC，且 AF∩SC＝F，求证：(1) BC⊥面 SAB；(2) AE⊥面 SBC；(3) SC⊥EF．证明：(1) BC⊥面 SAB(2) 由(1)有AE⊥面 SBC(3) 由(2)有SC⊥面 AEFSC⊥EF例 2 如图，已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 中点．(1) 求证：MN⊥CD；(2) 若PDA＝45°，求证：MN⊥面 PCD．证明：(1) 连 AC 取中点 O，连 NO、MO，并且 MO 交 CD 于 R N 为 PC 中点 ∴NO 为△PAC 的中位线 NO∥PA而 PA⊥平面 ABCD ∴NO⊥平面 ABCD∴MN 在平面 ABCD 的射影为 MO，又 ABCD 是矩形M 为 AB 中点，O 为 AC 中点 ∴MO⊥CD∴CD⊥MN(2) 连 NR，则∠NRM＝45°＝∠PDA又 O 为 MR 的中点，且 NO⊥MR∴△MNR 为等腰三角形 且∠NRM＝∠NMR＝45°∴∠MNR＝90° ∴MN⊥NR 又 MN⊥CD基础过关典型例题BACOGPMBCDANSABCFE∴MN⊥平面 PCD变式训练 2：PD 垂直于平面 ABCD 所在平面，PB⊥AC，PA⊥AB． 求证：① ABCD 是正方形；② PC⊥BC．证明：略例 3．如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD⊥底面 ABCD，AD＝PD，E、F 分别为CD、PB 的中点．(1) 求证：EF⊥平面 PAB；(2) 设 AB＝BC，求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小．(1) 证明：连结 EP． PD⊥底面 ABCD，DE 在平面 ABCD 中，∴PD⊥DE，又 CE＝ED，PD＝AD＝BC，∴Rt△BCE≌Rt△PDE，∴PE＝BE F 为 PB 中点，∴EF⊥PB．由垂线定理得 PA⊥AB，∴在 Rt△PAB 中，PF＝AF，又 PE＝...
