第 6 课时 三角函数的恒等变形一、三角恒等式的证明1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题．二、三角 条件等式的证明1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明．⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．例 1．求证：＝证明：左边＝＝＝右边变式训练 1：求证：tan(α＋)＋tan(α－)＝2tan2α证明： (α＋)＋(α－)＝2α∴tan[(α＋)＋(α－)]＝tan2α∴∴∴tan(α＋)＋tan(α－)＝2tan2α例 2．求证：基础过关典型例题基础过关证明：左边＝＝＝＝右边＝4()＝4·＝∴左边＝右边 即等式成立变式训练 2：已知 2tanA＝3tanB，求证：tan(A－B)＝．证明：tan(A－B)＝＝＝例 3．如图所示，D 是直线三角形△ABC 斜边上 BC 上一点，AB＝AD，记∠CAD=α，∠ABC=β．（1）证明：sinα＋cos2β=0；（2）若，求 β 的值．解：（1） ∴即 sinα＋cos2β ＝0（2）在△ADC 中，由正弦定理得．即 ∴由（1）sinα＝－cos2βABDC∴即解得或因为，所以从而变式训练 3.已知且 sinβ·cosα＝cos(α＋β)．（1）求证：；（2）用 tanβ 表示 tanα．解：（1） ∴∴∴（2）例 4.在△ABC 中，若 sinA·cos2＋sinC·cos2＝sinB，求证：sinA＋sinC＝2 sinB．证明： sinA·cos2＋sinC·cos2＝sinB∴sinA·＋sinC·＝sinB∴sinA＋sinC＋sinA·cosC＋cos Ａ·sinC＝3sinB∴sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB sin(A＋C)＝sinB ∴sinA＋sinC＝2sinB变式训练 4：已知 sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，求证：2cos2α＝cos2β．证明：(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝4sin2α将 sinθ·cosθ...
