第 5 课时 三角函数的化简和求值1．三角函数式的化简的一般要求： ① 函数名称尽可能少；② 项数尽可能少；③ 尽可能不含根式；④ 次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同 次．3．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．4．反三角函数 arcsinα、arccosα、arctanα 分别表示[]、[0，π]、（）的角．例 1. （1）化简： （2）化简：解： ＝ ∴原式=变式训练 1：已知，若，则 可化简为 ．解：例 2. 已知，α∈[，]，求（2α＋）的值．解法一：由已知得(3sinα＋2cosα) (2sinα－cosα)＝03sinα＋2cosα＝0 或 2sinα－cosα＝０由已知条件可知 cosα≠0 ∴α≠即 α∈(,π)∴tanα＝－典型例题基础过关sin(2α＋)＝sin2αcos＋cos2αsin＝sinαcosα＋(cos2α－sin2α)＝＝＝解法二：由已知条件可知 cosα≠0 则 α≠从而条件可化为 6 tan2α＋tanα－2＝0 α ∈(,π) 解得 tanα＝－(下同解法一)变式训练 2：在△ABC 中，，，，求A 的值和△ABC 的面积．解： sinA＋cosA＝ ① 2sinAcosA＝－从而 cosA＜0 A∈()∴sinA－cosA＝＝ ②据①②可得 sinA＝ cosA＝∴tanA＝－2－S△ABC＝例 3. 已知 tan(α－β)＝，β＝-，且 α、 β∈（0，），求 2α－β 的值.解：由 tanβ＝－ β∈(0，π)得 β∈(, π) ①由 tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ α∈(0，π)得 0＜α＜ ∴ 0＜2α＜π由 tan2α＝＞0 ∴ 知 0＜2α＜ ② tan(2α－β)＝＝1由①②知 2α－β∈(－π，0)∴2α－β＝－(或利用 2α－β＝2(α－β)＋β 求解)变式训练 3：已知 α 为第二象限角，且 sinα＝，求的值．解：由 sinα＝ α 为第二象限角∴cosα＝－∴＝＝－例 4．已知．（1）求 tanα 的值；（2）求的值．解：（1）由得 解得 tanα＝－3 或又，所以为所求．（2）原式：变式训练 4：已知（<α<），试用 k 表示 sin－cos的值．解： ∴k＝2sinαcosα (sinα－cos...
