第 3 课时 抛 物 线1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)．2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程① ，焦点为 ，准线为 ．② ，焦点为 ，准线为 ．③ ，焦点为 ，准线为 ．④ ，焦点为 ，准线为 ．3．抛物线的几何性质：对进行讨论．① 点的范围： 、 ．② 对称性：抛物线关于 轴对称．③ 离心率 ．④ 焦半径公式：设 F 是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则 ．⑤ 焦点弦长公式：设 AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i) 若，，则＝ ， ．ii) 若 AB 所在直线的倾斜角为(则＝ ．特别地，当时，AB 为抛物线的通径，且＝ ．iii) S△AOB＝ （表示成 P 与 θ 的关系式）．iv) 为定值，且等于 ．例 1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点到焦点的距离为 5，求抛物线的方程和 n 的值．解：设抛物线方程为，则焦点是 F 点 A(－3，n)在抛物线上，且| AF |＝5故解得 P＝4，典型例题基础过关故所求抛物线方程为变式训练 1：求顶点在原点，对称轴是 x 轴，并且顶点与焦点的距离等于 6 的抛物线方程．解：因为对称轴是轴，可设抛物线方程为或 ，∴p＝12故抛物线方程为或例 2. 已知抛物线 C：的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B．(1) 若，求直线 l 的方程．(2) 求的最小值．解：(1)解法一：设直线 的方程为：代入整理得，设则是上述关于的方程的两个不同实根，所以根据抛物线的定义知：| AB |＝＝若，则即直线 有两条，其方程分别为：解法二：由抛物线的焦点弦长公式|AB|＝(θ 为 AB 的倾斜角)易知 sinθ＝±，即直线 AB 的斜率 k＝tanθ＝±，故所求直线方程为：或.(2) 由(1)知，当且仅当时，|AB|有最小值 4．解法二：由(1)知|AB|＝＝∴ |AB|min＝4 (此时 sinθ＝1，θ＝90°)变式训练 2：过抛物线 y2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线（ ）A．有且仅有一条 B．有且仅有两条C．有无数条D．不存在解：B例 3. 若 A(3，2)，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的 P 的坐标．解：抛物线的准线方程为过 P 作 PQ 垂直于准线于 Q 点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ |...
