椭圆曲线“切点弦”的性质

椭圆曲线“切点弦”的性质_ 本人通过对椭圆曲线性质的讨论，得出椭圆曲线切点弦的一条有趣的性质，现把它的探究过程写出来，与大家分享。 为了方便，不防从抛物线进行探究，然后再推广到其他椭圆曲线。 y2=2px 的准线 l 上任意一点 p 作抛物线的两条切线，设切点分别为 A、B，我们把线段 AB 称为切点弦，则切点弦 AB 必过定点 所以切点弦 AB 所在的直线方程是 tp=p(x-，即为抛物线 y2=2px的焦点 探究 1：假如性质 1 中直线 L 非抛物线的准线 l，而是直线 l：x=-c(c0),那么切点弦 AB 是否也具有类似的性质呢？ 自直线 l：x=-c(c0)上任意一点 p 作抛物线 y2=2px 的两条切线，设切点分别为 A、B，则切点弦 AB 必恒经过定点 证明：设 AB，P(c0) 则经过点 P 的两条切线的方程是 Ty1=p(x1-c)③,ty2=p(x2-c)④ 由③④得，显然 AB 都在直线 ty=p(x-c)上， 切点弦 AB 所在的直线的方程是 ty=p(x-c) 切点弦恒过定点显然性质 1 是性质 2 的特别情形 探究 2：一般地，假如性质 2 中直线 x=-c(c0)改为直线 l：y=kx+b(其中 k,b 为常量)，且 l 与抛物线 y2=2px 没有公共点，那么切点弦 AB 是否也具有类似的性质呢？ 若直线 l：y=kx+b(其中 k,b 为常量)，且 l 与抛物线 y2=2px 没有公共点，自直线 l 上任意一点 P 作抛物线的两条切线，设切点分别为A、B，那么切点弦 AB 恒过定点 我们之所以假设直线 l 与抛物线没有公共点，是因为假如直线 l与抛物线相交，那么过 l 上任意一点并不总能作抛物线的切点；假如直线 l 与抛物线相切，那么切点弦显然恒过定点 y=p(x+t)上，所以切点弦 AB 所在的直线的方程是 y=p(x+t) k0，(y-k(p))=p(x-k(b))，所以切点弦 AB 恒过定点 现在我们将抛物线切点弦的这条性质推广到椭圆和双曲线 设直线 l：y=kx+m(其中 k,m 为常量)与椭圆 C：a2(x2)+b2(y2)=1没有公共点，直线 l 上任意一点 p 作椭圆 C 的两条切线，设切点分别为 A、B 则切点弦 AB 恒过定点，B，P(t,kt+m) 同理可以得出：设直线 l:y=kx+m(其中 k,m 为常量)与圆 C：x2+y2=r2 没有公共点，自直线 l 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线，设切点分别为 A、B，则切点弦 AB 恒过定点 综上所述，我们得到椭圆曲线切点弦的性质如下： 已知定直线 l 与椭圆曲线 C 没有公共点，自直线 l 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线，设切点分别为 A、B，则切点弦 AB 恒过定点。