2.4 二次函数典例精析题型一 求二次函数的解析式【例 1】已知二次函数 y＝f(x)的图象的对称轴方程为 x＝－2，在 y 轴上的截距为 1，在 x 轴上截得的线段长为 2，求 f(x)的解析式.【解析】设 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，由已知有解得 a＝，b＝2，c＝1，所以 f(x)＝x2＋2x＋1.【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与 x 轴相交，则两点间的距离为|x1－x2|＝.【变式训练 1】已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象过点 A(c,0)，且关于直线 x＝2 对称，则这个二次函数的解析式是 .【解析】由已知 x＝c 为它的一个根，故另一根为 1.所以 1＋b＋c＝0，又－＝2⇒b＝－4，所以 c＝3.所以 f(x)＝x2－4x＋3.题型二 二次函数的最值【例 2】已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)＞－2x 的解集为(1,3).(1)若方程 f(x)＋6a＝0 有两个相等实根，求 f(x)的解析式；(2)若 f(x)的最大值为正数，求 a 的取值范围.【解析】(1)因为 f(x)＋2x＞0 的解集为(1,3).所以 f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①由 f(x)＋6a＝0⇒ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，②由②知，Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0⇒5a2－4a－1＝0，所以 a＝1 或 a＝－.因为 a＜0，所以 a＝－，代入①得 f(x)＝－x2－x－.(2)由于 f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x－)2－，又 a＜0，可得[f(x)]max＝－.由 0,0142aaaa⇒a＜－2－或－2＋＜a＜0.【点拨】(1)利用 Δ＝0；(2)利用配方法.【变式训练 2】已知二次函数 y＝x2－2x＋3 在区间[0，m]上有最大值 3 和最小值 2，则 m 的取值范围是 .【解析】[1,2].题型三 二次函数在方程、不等式中的综合应用【例 3】设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，对于方程 f(x)＝[ f(x1)＋f(x2)]，求证：(1)方程在区间(x1，x2)内必有一解；(2)设方程在区间(x1，x2)内的根为 m，若 x1，m－，x2成等差数列，则－＜m2.【证明】(1)令 g(x)＝f(x)－[ f(x1)＋f(x2)]，1则 g(x1)g(x2)＝[ f(x1)－f(x2)] [ f(x2)－f(x1)]＝－ [ f(x1)－f(x2)]2＜0，所以方程 g(x)＝0 在区间(x1，x2)内必有一解.(2)依题意 2m－1＝x1＋x2，即 2m－x1－x2＝1，又 f(m)＝[ f(x1)＋f(x2)]，即 2(am2＋bm＋c)＝ax＋bx1＋c＋ax＋bx2＋c.整理得 a(2m2－x－x)＋b(2m－x1－x2)＝0，a(2m2－x－x)＋b＝0，所以...
