第三讲 一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ；(2) 当时，方程有两个相等的实数根：；(3) 当时，方程没有实数根．由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：.【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) (2) (3) 解：(1) ， ∴ 原方程有两个不相等的实数根．(2) 原方程可化为： ， ∴ 原方程有两个相等的实数根．(3) 原方程可化为： ，∴ 原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例 2】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3) 方程有实数根；(4) 方程无实数根．解：. (1) ；(2) ； (3) ；(4) ．【例 3】已知实数、满足，试求、的值．解：把方程看作是关于的方程，整理得：.由于是实数，所以此方程有实数根，因此：，代入原方程得：．综上知：.二、一元二次方程的根与系数的关系用心 爱心 专心一元二次方程的两个根为：.所以：，.定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： .说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是．【例 4】若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ；(3) ；(4) ．解：由题意，由根与系数的关系得：.(1) .(2) .(3) .(4) .说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，，，，，等等．韦达定理体现了整体代换思想．【例 5】已知两个数的和为 4，积为－12，求这两个数．解：法一 设这两个数分别是 ，，则或.因此，这两个数是－2 和 6．法二 由韦达定理知，这两个数是方程2－4 －12＝0 的两个根．解方程得：1＝－2，2＝6． 所以，这两个数是－2 和 6．【例 6】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．(1) 方程两实根的积为 5；(2) 方程的两实根满足．解： .用心 爱心 专心(1) .所以，当时，方程两实根的积为 5．(2) ...
