2.3 热点小专题二、导数的应用必备知识精要梳理1.导数的几何意义函数 y=f(x)在点 x0处的导数是曲线 y=f(x)在 P(x0,f(x0))处的切线的斜率 f'(x0).2.常用的导数及求导法则(1)(xm)'=mxm-1,(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,(ex)'=ex,(ln x)'=1x,(ax)'=axln a,(logax)'=1xln a.(2)[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x); f ( x )g( x)'=f '( x ) g( x)- f ( x) g'( x )g2( x)[g(x)≠0].3.函数的极值、最值(1)若在 x0附近左侧 f'(x)>0,右侧 f'(x)<0,则 f(x0)为函数 f(x)的极大值;若在 x0附近左侧 f'(x)<0,右侧 f'(x)>0,则 f(x0)为函数 f(x)的极小值.(2)设函数 y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则 f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.关键能力学案突破热点一利用导数求曲线的切线【例 1】(1)(2020 福建福州模拟,理 7)已知函数 f(x)为偶函数,当 x<0 时,f(x)=x2-ln(-x),则曲线y=f(x)在 x=1 处的切线方程为( ) A.x-y=0B.x-y-2=0C.x+y-2=0D.3x-y-2=0(2)(2020 全国Ⅲ,理 10)若直线 l 与曲线 y=❑√ x和圆 x2+y2=15都相切,则 l 的方程为( )A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12解题心得求曲线 y=f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点 P(x0,y0)求切线方程,利用 k=f'(x0),再由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率为 k 求切线方程,设切点 P(x0,y0),通过方程 k=f'(x0),解得 x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上非切点的一点(a,b)求切线方程,设切点 P(x0,y0),则 k=f'(x0)= y0- bx0-a,y0=f(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.【对点训练 1】(1)(2020 全国Ⅰ,理 6)函数 f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1(2)(2020 山东德州二模,14)已知 f(x)为奇函数,当 x<0 时,f(x)=ex3+2e-x,则曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是 . 热点二已知曲线的切线方程求参数的值【例 2】(2020 天津河北区线上测试,17)已知函数 f(x)=axln x-bx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为 y=3x-e,则 a= ,b= . 解题心得解决已知曲线的切线方程求参数问题的一般思路是:利用方程的思想求解,即设出切点坐标,求出函数在切点的导数得切线的斜率,由斜率相等得一方程,由切点坐标代入函数解析式,又得一方程,联立求解即可.【对点训练 2】若函数 f(x)=x-aln x 在点(1,1)处的切线方程为 y=2x-1,则实数 a= ...
