高二下学期数学第九章复习（3）空间向量的（坐标 ）运算（1） 一、知识要点：1．向量定义： ；相等向量： ；共线（平行）向量： ；共面向量： ；2．向量加法与数乘向量的基本性质： （1） （2） （3）．3．空间向量数量积：（1）主要性质：①（可以用来求角）；②（可以用来证明线线垂直）； ③（可以用来求线段长）．（2）运算律：①； ②； ③．4．共线向量定理： ；空间直线的向量参数方程：或（其中 过点，在直线 上，为空间任意一点，是 的方向向量）由此判断三点共线 ．5．共面向量定理： ；据此判断四点共面 ．6．空间向量基本定理： ；特别地，若基底为单位正交基底（常用表示），则可以建立空间直角坐标系。7．空间直角坐标系（右手直角坐标系）：若，则8．空间向量的坐标运算：，，则 ； ； ； ； ； ；若，，则．9．夹角和距离公式：（1）夹角公式：，，则 ； ； ； ；HGODCBA（2）两点间距离公式：，，则 ；（3）向量与平面垂直的意义：若表示的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记为：，此时叫做平面的法向量．二、例题分析：例 1．已知不平行，，，，试判断： 四点共面吗？并证明你的结论．提示：⑴可以求得，⑵四点共线，从而共面．例 2．空间四边形中，分别是，的重心，设，，，⑴试用向量表示向量和；⑵证明：平面．答案：⑴，；例 3．如图在正方体中，分别是棱的中点，⑴ 求证：；⑵求直线与所成角的余弦值；⑶ 求直线与所成角的正弦值．ABCDA1B1C1D1MNF答案：⑵；⑶．三、课后练习： 班级 学号 姓名 1．在平行六面体中，为与的交点，若，，，则．2．设，则的中点到点的距离 （ C ） 3．若，则 （ D ）与重合 与重合 在上 4．若且，则．5．已知，则的形状是锐角三角形，．6．已知，，，求，为边的平行四边形的对角线的长．答案：7．已知：，，，，，求：⑴；⑵与所成角的余弦值．答案：⑴，⑵ AA1B1C1BCMPQ8．在中，现将沿着平面的法向量平移到的位置，已知，是的中点，⑴ 求异面直线与所成角；⑵ 若是中点，是中点，求线段的长．答案：⑴；⑵
