空间直角坐标系、空间向量及其运算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是()A.a∥b,a∥cB.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥bD.以上都不对【解析】选C.因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),所以a∥c.又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b.2.(2016·长沙模拟)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ=()A.9B.-9C.-3D.3【解析】选B.由题意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),所以解得λ=-9.3.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是()A.(1,0,1)B.(0,1,0)C.(0,-1,0)D.(0,0,1)【解析】选C.设M(0,y,0),则有=,解得y=-1.4.(2016·黄山模拟)在棱长为1的正四面体ABCD中,点E是BC的中点,则·=()A.0B.C.-D.-【解析】选D.=(+),=-,所以·=(+)·(-)=(·-·+·-)=·-=-=-.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:①(-)-;②(+)-;③(-)-2;④(+)+.其中与向量相等的是()A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】选A.①(-)-=-=;②(+)-=-=;③(-)-2=-2≠;④(+)+=+=≠,综上,①②符合题意.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·湖北四校联考)向量a=(1,2,x),b=(2,y,-1),若|a|=,且a⊥b,则x+y=.【解析】由|a|=得=,解得x=0,即a=(1,2,0),又a⊥b,则a·b=0,即2+2y=0,解得y=-1,从而x+y=-1.答案:-17.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,建立空间直角坐标系Dxyz如图所示,则|AE|=.【解题提示】确定A,E的坐标,可得的坐标,然后求出AE的长度.【解析】由题意长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,则A(1,0,0),E,所以=,所以||==.答案:8.(2016·宜昌模拟)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,①(++)2=32;②·(-)=0;③向量与向量的夹角是60°;④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确的序号是.【解析】①中,(++=2+2+=3,故①正确;②中,-=,因为AB1⊥A1C,故②正确;③中,两异面直线A1B与AD1所成的角为60°,但与的夹角为120°,故③不正确,④中,|··|=0,故④也不正确.答案:①②三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·周口模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以,为边的平行四边形的面积.(2)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.【解析】(1)由题意可得:=(-2,-1,3),=(1,-3,2),所以cos<,>====,所以sin<,>=,所以以,为边的平行四边形的面积:S=2×||||sin<,>=14×=7.(2)设a=(x,y,z),由题意得解得或所以a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).10.(2016·唐山模拟)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)求a和b夹角的余弦值.(2)设|c|=3,c∥,求c的坐标.【解析】(1)因为=(1,1,0),=(-1,0,2),所以a·b=-1+0+0=-1,|a|=,|b|=.所以cos
===.(2)=(-2,-1,2).设c=(x,y,z),因为|c|=3,c∥,所以=3,存在实数λ使得c=λ,即联立解得或所以c=±(-2,-1,2).(20分钟40分)1.(5分)(2016·开封模拟)若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值为()A.19B.-C.D.【解析】选C.||==,所以当x=时,||min=.2.(5分)设A,B,C,D是空间不共面的四个点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.无法确定【解题提示】通过·,·,·的符号判断△BCD各内角的大小,进而确定出三角形的形状.【解析】选C.·=(-)·(-)=·-·-·+2=>0,同理·>0,·>0.故△BCD为锐角三角形.【加固训练】如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为()A.(1,1,1)B.C.D.(1,1,2)【解析】选A.由已知得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),设P(0,0,a)(a>0),则E.所以=(0,0,a),=,||=a,||===.又cos<,>=,所以=,解得a2=4,即a=2,所以E(1,1,1).3.(5分)二面角α-l-β为60°,A,B是l上的两点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为()A.2aB.aC.aD.a【解题提示】选,,为基向量,进行基向量运算求解.【解析】选A.因为AC⊥l,BD⊥l,所以<,>=60°,且·=0,·=0,所以=++,所以||===2a.4.(12分)已知a=(3,1,5),b=(1,2,-3),a·c=9,b·c=-4.(1)若向量c垂直于空间直角坐标系的z轴,试求c的坐标.(2)...
